Question

Найти экстремумы функции y=12x-x^3

Answer 1

Решение на фото......

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции y = 12x - x^3, нужно найти её производную и решить уравнение производной равное нулю.

Давайте найдем производную функции y по x: y' = d/dx(12x - x^3)

Применим правило дифференцирования для каждого члена: y' = 12 - 3x^2

Теперь решим уравнение y' = 0: 12 - 3x^2 = 0

Выразим x^2: 3x^2 = 12

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две критические точки x = 2 и x = -2.

Чтобы определить, являются ли эти точки локальными максимумами или минимумами, нужно проанализировать знаки второй производной функции.

Для этого найдем вторую производную функции y: y'' = d^2/dx^2(12 - 3x^2)

Продифференцируем каждый член: y'' = -6x

Подставим критические точки в y'': y''(2) = -6(2) = -12 y''(-2) = -6(-2) = 12

Если y'' > 0, то это указывает на локальный минимум, а если y'' < 0, то это указывает на локальный максимум.

Для x = 2, y''(2) = -12, что означает, что у нас есть локальный максимум.

Для x = -2, y''(-2) = 12, что означает, что у нас есть локальный минимум.

Таким образом, функция y = 12x - x^3 имеет локальный максимум в точке (2, 16) и локальный минимум в точке (-2, -16).