Question

Докажите тождество: (sina+sin2a+sin3a)/(cosa+cos2a+cos3a)=tg2a Буду очень благодарна!!! подробно решите

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

..............................

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций и свойствами тангенса.

Сначала заметим, что выражение в левой части равенства содержит сумму синусов и косинусов, которую мы хотели бы привести к выражению с тангенсами. Используем формулу приведения синуса и косинуса для углов 2a и 3a:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1 - 2sin^2(a) sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a) cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a)

Теперь заменим эти значения в исходном выражении:

(sina + sin2a + sin3a)/(cosa + cos2a + cos3a) = = (sina + 2sin(a)cos(a) + 3sin(a) - 4sin^3(a))/(cosa + (1 - 2sin^2(a)) + (4cos^3(a) - 3cos(a))) = = (sina + 3sin(a) + 2sin(a)cos(a) - 4sin^3(a))/(1 - 2sin^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)).

Теперь воспользуемся формулами суммы и разности тригонометрических функций для sin и cos:

sina + 3sin(a) = 4sin(a)cos^2(a) 2sin(a)cos(a) - 4sin^3(a) = 2sin(a)cos(a)(1 - 2sin^2(a)) = 2sin(a)cos(a)cos(2a).

Подставим эти значения в исходное выражение:

(4sin(a)cos^2(a) + 2sin(a)cos(a)cos(2a))/(1 - 2sin^2(a) + 4cos^3(a) - 3cos(a)).

Теперь воспользуемся формулой тангенса:

tg(2a) = sin(2a)/cos(2a) = (2sin(a)cos(a))/(1 - 2sin^2(a)).

Теперь заметим, что числитель и знаменатель в исходном выражении совпадают с числителем и знаменателем в формуле для тангенса, за исключением последнего слагаемого 4cos^3(a). Однако, заменим это слагаемое с использованием формулы косинуса:

4cos^3(a) = 4cos(a)cos^2(a) = 4cos(a)(1 - sin^2(a)) = 4cos(a) - 4sin^2(a)cos