Question

Решите неравенство log2(x²-2)-log2x≤log2(x-2/x² )

Answer 1

решение смотрите во вложении

Answer 2

Давайте посмотрим на данное неравенство и попытаемся его решить.

Исходное неравенство: log2(x² - 2) - log2(x) ≤ log2((x - 2) / x²)

Чтобы упростить выражение, воспользуемся свойствами логарифмов.

Сначала объединим левую часть неравенства: log2(x² - 2) - log2(x) = log2((x² - 2) / x)

Теперь можно переписать правую часть: log2((x - 2) / x²) = log2(1 / x)

Таким образом, исходное неравенство принимает вид: log2((x² - 2) / x) ≤ log2(1 / x)

Мы можем избавиться от логарифмов, применив преобразование эквивалентности для основания 2: (x² - 2) / x ≤ 1 / x

Домножим обе части неравенства на x (учтем возможность x > 0 и x < 0): x² - 2 ≤ 1

Теперь решим квадратное неравенство: x² - 2 - 1 ≤ 0

x² - 3 ≤ 0

Факторизуем левую часть: (x - √3)(x + √3) ≤ 0

Теперь определим интервалы, где неравенство выполняется:

1. x - √3 ≤ 0 и x + √3 ≥ 0: -√3 ≤ x ≤ √3

2. x - √3 ≥ 0 и x + √3 ≤ 0: Этот интервал не имеет решений, так как x не может быть одновременно больше и меньше нуля.

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал -√3 ≤ x ≤ √3.