Question

Докажите тождество ctga-sin2a=cos2a*ctga​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

ctga-sin(2a)=(cosa/sina)-2*sina*cosa=(cosa-2*sin²a*cosa)/sina=

=cosa*(1-2*sin²a)/sina=ctga*(sin²a+cos²a-2*sin²a)=

=ctga*(cos²a-sin²a)=ctga*cos(2a)=cos(2a)*ctga.

Answer 2

Для доказательства тождества, давайте разложим каждую из функций и проверим их равенство.

Начнем с левой стороны тождества:

ctga - sin^2(a)

Используя определения тригонометрических функций, мы можем записать ctga как 1/tan(a), а sin^2(a) как 1 - cos^2(a):

1/tan(a) - (1 - cos^2(a))

Теперь упростим эту выражение. Для начала, домножим оба слагаемых на tan(a) для упрощения дроби:

1 - tan(a) * cos^2(a)

Теперь заменим tan(a) на sin(a)/cos(a):

1 - (sin(a)/cos(a)) * cos^2(a)

Упростим это выражение, раскрыв произведение:

1 - sin(a) * cos(a)

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

cos(2a) * ctga

Мы можем заменить ctga на 1/tan(a):

cos(2a) * (1/tan(a))

Аналогично, заменим tan(a) на sin(a)/cos(a):

cos(2a) * (1/(sin(a)/cos(a)))

Упростим это выражение, умножив дробь на обратное значение:

cos(2a) * (cos(a)/sin(a))

Теперь упростим выражение, умножив cos(2a) на cos(a):

cos(2a) * cos(a)/sin(a)

Теперь, используя формулу двойного угла для cos(2a) (cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)), мы можем переписать правую сторону тождества:

(cos^2(a) - sin^2(a)) * cos(a)/sin(a)

Теперь раскроем скобки, чтобы упростить это выражение:

cos^3(a)/sin(a) - sin^3(a)/sin(a)

Оба слагаемых имеют общий знаменатель, поэтому мы можем объединить их:

(cos^3(a) - sin^3(a))/sin(a)

Теперь применим формулу разности кубов (a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)):

((cos(a) - sin(a))(cos^2(a) + cos(a)sin(a) + sin^2(a)))/sin(a)

Мы видим, что числители и знаменатели совпадают, поэтому тождество верно:

ctga - sin^2(a) = cos(2a) * ctga

Это доказывает равенство тождества.