Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x^4-8x^2+5 на отрезке [-3;2]

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x) = x⁴ - 8x² + 5

f(-3) = (-3)⁴ - 8(-3)² + 5 = 81 - 8*9 + 5 = 14

f(-2) = (-2)⁴ - 8(-2)² + 5 = 16 - 8*4 + 5 = -11

f(-1) = (-1)⁴ - 8(-1)² + 5 = 1 - 8*2 + 5 = -2

f(0) = (0)⁴ - 8(0)² + 5 = 0 - 0 + 5 = 5

f(1) = (1)⁴ - 8(1)² + 5 = 1 - 8 + 5 = -2

f(2) = (2)⁴ - 8(2)² + 5 = 16 - 8*4 + 5 = -11

Наименьшее значение функции -11 при х= -2 и 2. Наибольшее значение функции 14 при х = -3.

Answer 2

Для решения задачи необходимо найти точки экстремума функции на отрезке [-3;2] и значения функции в этих точках, а также в точках концов отрезка.

Найдем сначала производную функции:
f'(x) = 4x^3 - 16x

Приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:
4x^3 - 16x = 0
4x(x^2 - 4) = 0
x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2

Точки x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2 являются критическими точками функции на отрезке [-3;2]. Осталось только найти значения функции в этих точках и в точках концов отрезка:

f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 61
f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 5 = -27
f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 5 = 5
f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 45

Таким образом, наибольшее значение функции равно 61 и достигается в точке -3, а наименьшее значение функции равно -27 и достигается в точке 2.