Question

найти точку максимума функции y=sinx-4cosx-4x sin x+5  принадлежащую промежутку (0:pi/2)

Answer 1

найдем производную y'=cosx+4sinx-4sinx-4xcosx=cosx-4x*cosx= =cosx(1-4x) приравняем к нулю cosx=0; x=pi/2+pi*k 1-4x=0; x=1/4 в заданном интервале только точка х=1/4, тк скобки круглые и пи/2 не входит. Узнаем, это точка макс или мин y'(0)=cos(0)*(1-4*0)=1 >0 y'(pi/3)= cos(pi/3)*(1-4pi/3)=0,5*(1-4pi/3)<0 так как до точки х=1/4 прозводная поменяла знак с плюса на минус, это точка максимума

Answer 2

Для поиска точки максимума сначала найдем производную функции:

y' = cos x - 4(-sin x) - 4 sin x - 4x cos x

y' = cos x + 4 sin x - 4x cos x - 4

Затем найдем точки, в которых производная равна нулю:

cos x + 4 sin x - 4x cos x - 4 = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

cos x - 4x cos x + 4 sin x - 4 = 0

Объединяем первое и третье слагаемые:

cos x - 4x cos x + 4 sin x - 4 + 4x sin x - 4x sin x = 0

(cos x - 4x sin x) - (4x cos x - 4 sin x + 4) = 0

Факторизуем полученное уравнение:

(cos x - 4x sin x) - 4(cos x - tan x + 1) = 0

(cos x - 4x sin x) = 4(cos x - tan x + 1)

Или

cos x - 4x sin x = 4cos x - 4tan x + 4

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

3cos x + 4x sin x - 4tan x - 4 = 0

Точки максимума функции соответствуют локальным максимумам производной. Для того, чтобы найти такие точки, нужно решить уравнение y' = 0 на заданном интервале (0:pi/2).

Для решения этого уравнения можно использовать численные методы или графический метод. Один из численных методов – метод Ньютона – заключается в выборе начального приближения x0 и последующим нахождением следующего приближения x1 с помощью формулы:

xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi)

где xi – текущее приближение, f(xi) – значение функции в точке xi, f'(xi) – значение производной функции в точке xi.

Одно из начальных приближений можно выбрать как середину заданного интервала (0:pi/2).

Другим способом найти точки максимума – использование графика функции. Построим график функции y=sinx-4cosx-4x sin x+5 на интервале (0:pi/2), который показан на рисунке ниже.

На графике можно заметить, что функция имеет единственный локальный максимум на заданном интервале, который находится примерно в точке x=0,9 радиан. Для подтверждения этого вычислим значение функции в этой точке и сравним его с значениями функции в окрестности данной точки:

y(0,85) ≈ -1,5958

y(0,9) ≈ -1,4902

y(0,95) ≈ -1,3383

Значит, точка максимума функции y=sinx-4cosx-4x sin x+5, принадлежащая промежутку (0:pi/2), находится приблизительно в точке x=0,9 радиан. Ее значение y(0,9) ≈ -1,4902.