Question

Известно, что sin(a)+cos(a)=1/2. Найдите значение выражения: sin(a) cos(a).​

Answer 1

Ответ:

sin(a)cos(a)=-3/8

Объяснение:

sin(a)+cos(a)=1/2

возведём обе части в квадрат

(sin(a)+cos(a))²=(1/2)²

sin²(a)+2sin(a)cos(a)+cos²(a)=1/4

sin²(a)+cos²(a)=1 основное тригонометрическое тождество, тогда

1+2sin(a)cos(a)=1/4

2sin(a)cos(a)=1/4-1=-3/4

sin(a)cos(a)=-3/8

Answer 2

Разделим обе части уравнения sin(a)+cos(a)=1/2 на cos(a):

$$\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\cos(a)}{\cos(a)} = \frac{1}{2\cos(a)}$$

$$\tan(a) + 1 = \frac{1}{2\cos(a)}$$

$$\tan(a) = \frac{1}{2\cos(a)} - 1$$

Теперь вспомним формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin(a)\cos(a) = \frac{1}{2}\sin(2a)$$

Возведём обе части уравнения выше в квадрат:

$$(\tan(a) + 1)^2 = \frac{1}{4\cos^2(a)}$$

$$\tan^2(a) + 2\tan(a) + 1 = \frac{1}{4}\sec^2(a)$$

$$\tan^2(a) + 2\tan(a)\frac{1}{\cos^2(a)} + \frac{1}{\cos^4(a)} = \frac{1}{4}\frac{1}{\cos^2(a)}$$

$$\tan^2(a) + 2\tan(a)\sec^2(a) + \sec^4(a) = \frac{1}{4}$$

$$4\tan^2(a)\cos^4(a) + 8\tan(a)\cos^2(a) + 4 = \cos^4(a)$$

$$4\tan^2(a)\cos^4(a) + 8\tan(a)\cos^2(a) + 3\cos^4(a) = 4$$

$$\cos^4(a)\left(4\tan^2(a) + 3\right) + 8\tan(a)\cos^2(a) - 4 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $\cos^2(a)$:

$$\cos^2(a) = \frac{-4\tan(a) \pm \sqrt{16\tan^2(a) - 4\cdot4\cdot(4\tan^2(a)+3)}}{2\cdot4}$$

$$\cos^2(a) = \frac{-2\tan(a) \pm \sqrt{16 - 15\tan^2(a)}}{8}$$

Так как $\cos^2(a) \leq 1$, то корень нужно выбирать только с минусом. Подставим этот корень в наше выражение:

$$\sin(a)\cos(a) = \frac{1}{2}\sin(2a) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin(a)\cos(a) = \frac{1}{4}\cdot\frac{-2\tan(a) - \sqrt{16 - 15\tan^2(a)}}{4}$$

$$\sin(a)\cos(a) = \frac{-\tan(a) - \sqrt{16 - 15\tan^2(a)}}{16}$$

Ответ: $\sin(a)\cos(a) = \frac{-\tan(a) - \sqrt{16 - 15\tan^2(a)}}{16}$.