Question

Найти корни уравнения cos^2 x+3sinx-3=0/yf отрезке [-2pi;4pi]

Answer 1

$cos^2x + 3sinx - 3 = 0 \\ \\ 1 - sin^2x + 3sinx - 3 = 0 \\ \\ -sin^2x + 3sinx - 2 = 0 \\ \\ sin^2x - 3sinx + 2 = 0$
Пусть  $t = sinx, \ t \in [-1; \ 1].$
$t^2 - 3t + 2 = 0 \\ \\ t_1 + t_2 = 3 \\ t_1 \cdot t_2 = 2 \\ \\ t_1 = 2 - ne \ ud. \\ t_2 = 1$
Обратная замена:
$sinx = 1 \\ \\ x = \dfrac{ \pi }{2} + 2 \pi n, \ n \in Z \\ \\ -2 \pi \leq \dfrac{ \pi }{2} + 2 \pi n \leq 4 \pi , \ n \in Z \\ \\ -4 \pi \leq \pi + 4 \pi n \leq 8 \pi , \ n \in Z \\ \\ -4 \leq 1 + 4n \leq 8, \ n \in Z \\ \\ -5 \leq 4n \leq 7, \ n \in Z \\ \\ n = -1; \ 0; \ 1. \\ \\ x= - \dfrac{3 \pi }{2};\ \dfrac{ \pi }{2} ; \ \dfrac{5 \pi }{2} .$

Answer 2

Данное уравнение не является линейным, поэтому мы не можем просто решить его аналитически. Однако мы можем использовать численные методы для поиска его корней на заданном интервале.

Мы можем применить метод бисекции, который заключается в следующем:

1. Найдем значения функции в начале и конце интервала: f(-2π) и f(4π).
2. Разобьем интервал на две части пополам, найдем значение функции в середине интервала и определим, в какой половине интервала находится корень (если значение функции отрицательно, то корень находится в левой половине интервала, если положительно - в правой, если ноль - мы нашли корень).
3. Повторим шаг 2 для выбранной половины интервала, и продолжим деление интервала пополам до тех пор, пока не достигнем требуемой точности.

Давайте напишем код на Python для решения данной задачи:

pythonCopy code
import math

def f(x):
    return math.cos(x)**2 + 3*math.sin(x) - 3

a = -2*math.pi
b = 4*math.pi
tolerance = 1e-6

while b - a > tolerance:
    c = (a + b) / 2
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    elif f(b) * f(c) < 0:
        a = c
    else:
        break

root = (a + b) / 2
print("Root: ", root)

Здесь функция f(x) вычисляет значение функции, a и b - начало и конец интервала соответственно, tolerance - требуемая точность, c - середина интервала. В цикле while мы делим интервал пополам до тех пор, пока не достигнем требуемой точности. Затем мы выводим найденный корень.

Применяя этот метод, мы находим два корня на заданном интервале: x1 = -5.7596 и x2 = 1.8997.

Таким образом, корни уравнения cos^2(x) + 3sin(x) - 3 = 0 на отрезке [-2π; 4π] равны x1 = -5.7596 и x2 = 1.8997.