Question

Докажите a^4+1/a^2+2/a≥4 если a>0

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства неравенства a^4 + 1/a^2 + 2/a ≥ 4 при условии a > 0, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим. Применим это неравенство для трех чисел: a^4, 1/a^2 и 2/a.

Мы знаем, что для любых положительных чисел x, y и z справедливо следующее неравенство:

(x + y + z)/3 ≥ √[(x^2 + y^2 + z^2)/3]

Применим это неравенство к числам a^4, 1/a^2 и 2/a:

(a^4 + 1/a^2 + 2/a)/3 ≥ √[((a^4)^2 + (1/a^2)^2 + (2/a)^2)/3]

(a^4 + 1/a^2 + 2/a)/3 ≥ √[(a^8 + 1 + 4)/3]

(a^4 + 1/a^2 + 2/a)/3 ≥ √[(a^8 + 4)/3]

Теперь мы можем заметить, что a^8 + 4 ≥ 2√(a^8 * 4) = 2√(4a^8) = 2 * 2a^4 = 4a^4. Это следует из неравенства между арифметическим и геометрическим средним.

(a^4 + 1/a^2 + 2/a)/3 ≥ √[(a^8 + 4)/3] ≥ √[(4a^4)/3] = 2a^2/√3

Мы хотим показать, что 2a^2/√3 ≥ 4, так как это даст нам исходное неравенство:

2a^2/√3 ≥ 4

Перемножим обе стороны на √3:

2a^2 ≥ 4√3

Разделим обе стороны на 2:

a^2 ≥ 2√3

Это неравенство выполняется для всех положительных значений a, поэтому исходное неравенство a^4 + 1/a^2 + 2/a ≥ 4 верно при a > 0.