Question

Для любых действительных чисел a, b, c докажите, что: а) если а + b ≥ 0, то a³ + b³ ≥ a²b + ab²б) если ab > 0, то в) если a > 0, b > 0, c > 0, то

Answer 1

если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака

1. a+b>=0

a^3+b^3 >= a^b + ab^2

(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b)   сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто

a^2-ab+b^2 >= ab

a^2-2ab+b^2>=0

(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0

2. ab>0

a/b + b/a >=2

a/b + b/a - 2 >=0

(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0

(a-b)^2/ab >= 0

ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата

3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0

(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0

знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0

2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0

умножаем на 2 числитель и знаменатель

(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0

(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0

(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0

слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0

Answer 2

a) Рассмотрим выражение (a+b)(a²-ab+b²). Разложим скобки во втором множителе: a²-ab+b² = (a-b)²+ab. Тогда получим:

(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³

+(a+b)ab-(a+b)ab

=a³+b³-ab(a+b)

Так как a+b≥0, то последнее выражение неотрицательно, следовательно:

a³+b³ ≥ ab(a+b) = a²b + ab²

б) Если ab>0, то а и b должны иметь одинаковый знак. Предположим, что они оба положительны. Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a+b)/2 ≥ √(ab)

a+b ≥ 2√(ab)

(a+b)² ≥ 4ab

a²+2ab+b² ≥ 4ab

a²+b² ≥ 2ab

Таким образом, получаем:

a³+b³ ≥ ab(a+b) ≥ 2ab√(ab) = 2a^(3/2)b^(3/2)

в) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a+b+c)/3 ≥ ∛(abc)

a+b+c ≥ 3∛(abc)

(a+b+c)² ≥ 9abc

(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca) ≥ 9abc

Так как a, b и c положительны, то сумма всех трех возможных попарных произведений также положительна:

ab+bc+ca > 0

Следовательно,

(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca) > 2(ab+bc+ca)

(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca) > 2(ab+bc+ca) ≥ 2√(ab·bc+bc·ca+ca·ab)

(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca) > 2√3abc

Таким образом, получаем:

a³+b³+c³+3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)+3abc ≥ 2√3abc(a²+b²+c²-ab-bc-ca)+3abc > 2√3abc·2√3abc+3abc = 12abc

Что и требовалось доказать.