Question

Исследовать функцию и построить ее график f(x)=x^3+3x^2-4

Answer 1

Вот, надеюсь правильно

Answer 2

Для начала давайте построим график функции, чтобы получить представление о ее поведении на всей числовой оси:

Как видно из графика, функция f(x) имеет убывающий участок на отрезке (-inf, -3), стационарную точку в точке (-3, -1), возрастающий участок на отрезке (-3, 0), максимум в точке (0, -4), убывающий участок на отрезке (0, -2), и, наконец, возрастающий участок на отрезке (-2, +inf).

Чтобы получить более подробное представление о свойствах функции, проанализируем ее производную:

f'(x) = 3x^2 + 6x

Найдем точки пересечения производной с осью абсцисс:

3x^2 + 6x = 0 x(3x + 6) = 0 x = 0, x = -2

Таким образом, на отрезке (-inf, -2) функция f(x) убывает, на отрезке (-2, 0) возрастает, на отрезке (0, +inf) также возрастает. Точка (-2, 8) является локальным минимумом функции, а точка (0, -4) - локальным максимумом.

Найдем вторую производную функции:

f''(x) = 6x + 6

f''(0) = 6 > 0, f''(-2) = 0, f''(x) > 0 на отрезке (-2, +inf), следовательно, точка (0, -4) является точкой минимума, а точка (-2, 8) - точкой перегиба.

Таким образом, график функции f(x) убывает на отрезке (-inf, -3), имеет стационарную точку в (-3, -1), возрастает на отрезке (-3, -2), достигает локального минимума в (-2, 8), возрастает на отрезке (-2, 0), достигает локального максимума в (0, -4), убывает на отрезке (0, -2), и, наконец, возрастает на отрезке (-2, +inf).