Question

Решите уравнение sin4x+sinx=sin3x+sin2x

Answer 1

sin4x + sinx = sin3x + sin2x

sin4x + sinx - sin3x - sin2x = 0

2sin 5x/2 · cos 3x2 - 2sin 5x/2  · cos x/2 = 0

2sin 5x/2 ( cos 3x/2 - cos x/2) = 0

2sin 5x/2 · (-2 sinx · sin x/2) = 0

-4 sin 5x/2 ·  sinx · sin x/2 = 0

1) sin 5x/2 = 0;       5x/2 = πk → x = 0.4 πk

2) sin x = 0;      x = πk

3) sin x/2 = 0;      x/2 = πk → x = 2πk (это решение содержится в решении 2)

Ответ:  x1 = 0.4 πk;      х2 = πk;   k∈Z

Answer 2

Начнем с приведения всех тригонометрических функций к синусам и косинусам.

sin 4x = 2 sin 2x cos 2x sin 3x = 3 sin x - 4 sin³ x sin 2x = 2 sin x cos x

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2 sin 2x cos 2x + sin x = 3 sin x - 4 sin³ x + 2 sin x cos x

Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем подобные:

4 sin³ x - 2 sin 2x cos 2x - 3 sin x + 2 sin x cos x = 0

Факторизуем выражение:

sin x (4 sin² x - 3 + 2 cos x - 2 sin x cos 2x) = 0

Таким образом, решениями уравнения являются значения x, для которых одно из следующих условий выполняется:

sin x = 0 4 sin² x - 3 + 2 cos x - 2 sin x cos 2x = 0

Если sin x = 0, то x = kπ, где k - целое число.

Для решения второго условия воспользуемся тригонометрической заменой:

cos 2x = 1 - 2 sin² x

Подставим ее в выражение выше и упростим:

4 sin² x - 3 + 2 cos x - 2 sin x cos 2x = 4 sin² x - 3 + 2 cos x - 4 sin x + 4 sin³ x = 4 sin³ x + 4 sin² x - 2 sin x - 3 + 2 cos x

Заметим, что это выражение симметрично относительно замены sin x на cos x и наоборот. Поэтому мы можем рассмотреть только случай sin x < cos x.

Подставим cos x = √(1 - sin² x) и приведем подобные:

4 sin³ x + 4 sin² x - 2 sin x - 3 + 2 √(1 - sin² x) = 0

Введем новую переменную t = sin x и решим полученное уравнение относительно t:

4t³ + 4t² - 2t - 3 + 2 √(1 - t²) = 0

Это уравнение не решается аналитически, поэтому нам придется использовать численные методы. Например, можно применить метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное значение t. Затем, найдя значение t, мы можем найти соответствующее значение x = arcsin t.

Таким образом, решение исходного уравнения состоит из корней sin x