Question

㏒ₓ(3x+2)<㏒ₓ(x+3) Подробно ДАЮ 30 балов

Answer 1

ОДЗ:

$x\ \textgreater \ 0 \\ x \neq 1 \\ \\ 3x+2\ \textgreater \ 0=\ \textgreater \ x\ \textgreater \ - \frac{2}{3} \\ x+3\ \textgreater \ 0=\ \textgreater \ x\ \textgreater \ -3 \\ \\ \\ \boxed {x\in (0;1) U (1;+\infty)}$

x∈(0;1) U (1;+∞)

Поделим неравенство на 2 случая:

3x+2<x+3 , x>1
3x+2>x+3 , x<1

2x<1 , x>1
2x>1 , x<1

x< $\frac{1}{2}$ , x>1
x> $\frac{1}{2}$ , x<1

Так как в первом x>1 значит x∈∅
Пересечение со вторым : x∈( $\frac{1}{2};1$ ), оно  входит в ОДЗ.

Значит ответ :  $x\in ( \frac{1}{2};1)$

Answer 2

Итак есть такое правило, которое следует из системы, когда надо проверять основание на (0 1) и (1 +00) и решать систему, но перевожится все к ождному
log f(x) g(x) < log f(x) h(x) решается (f(x)-1)*(g(x)-h(x))<0 плюс ОДЗ
ОДЗ
x>0
x≠1
x+3>0     x>-3
3x+2>0   x>-2/3
x∈(0 1) U ( 1 +∞)
применяем формулу
(x-1)(3x+2 - x -3) < 0
(x-1)(2x-1)<0
метод интервалов
++++++++1/2 ------------ 1 +++++++
x∈(1/2 1) 
пересекаем с ОДЗ x∈(0 1) U ( 1 +∞)
Ответ x∈(1/2 1) 

Answer 3

Для решения данного неравенства необходимо преобразовать его так, чтобы переменная x находилась в одной части неравенства, а все константы — в другой. Мы можем применить свойство логарифмов: ㏒ₐ(b/c) = ㏒ₐ(b) − ㏒ₐ(c), чтобы перенести логарифмы в разные стороны неравенства:

㏒ₓ(3x+2) < ㏒ₓ(x+3) ⇔ ㏒ₓ(3x+2) - ㏒ₓ(x+3) < 0 ⇔ ㏒ₓ[(3x+2)/(x+3)] < 0

Затем мы можем применить правило знака логарифма: логарифм от числа меньше 1 отрицателен, а логарифм от числа больше 1 положителен. Также мы должны учитывать, что знаменатель логарифма должен быть положительным числом, поэтому мы исключаем значение x = -3 из области определения:

(3x+2)/(x+3) < 1, x ≠ -3

Чтобы решить неравенство, нужно найти интервалы значений x, для которых выполняется неравенство. Для этого мы можем построить таблицу знаков функции (3x+2)/(x+3) и найти интервалы, где она меньше 1:

x | (3x+2)/(x+3) --+--------------- x<-3 | + -3<x<-2 | - x>-2 | +

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -3) и (-2, +∞). Ответ:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, +∞)