Question

Найдите все значения числа а , при котором уравнение (а+3)х^2+(а+4)х+2 имеет единственный корень. Помогите, пожалуйста , решить

Answer 1

(a+1)x²+2ax+a+3=0  

1) D=(2a)²-4(a+1)(a+3)=-16a-12  

чтобы кв. ур-е имело 2 корня, нужно, чтобы D>0⇒-16a-12>0⇒a<-3/4  

2) по условию x₁>0;x₂>0,значит,  

{x₁•x₂>0  

{x₁+x₂>0  

по т. Виета имеем:  

{(a+3)/(a+1)>0  

{-2a/(a+1)>0  

{(-∞;-3)∪(-1;+∞)  

{(-1;0)  

общее решение системы: (-1;0),но учитывая, что а<-3/4,окончательно получаем  

Ответ: а∈(-1;-3/4).

Answer 2

Для того чтобы уравнение (а+3)х^2+(а+4)х+2 имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю, так как если дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет вещественных корней, а если дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня.

Итак, дискриминант равен:

D = (a+4)^2 - 4(a+3)2 = a^2 + 8a + 16 - 4a^2 - 24a - 36 = -3a^2 - 16a - 20

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, D должно быть равно нулю:

-3a^2 - 16a - 20 = 0

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = -3, b = -16, c = -20

D = (-16)^2 - 4*(-3)*(-20) = 256 - 240 = 16

Корень из D равен 4, поэтому уравнение имеет два корня:

x1 = (-b + √D) / 2a = (-(-16) + 4) / (-6) = 20/6 = 10/3 x2 = (-b - √D) / 2a = (-(-16) - 4) / (-6) = 20/3

Следовательно, чтобы уравнение имело единственный корень, значение а должно быть таким, что D = 0:

-3a^2 - 16a - 20 = 0

Данное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = -3, b = -16, c = -20

D = (-16)^2 - 4*(-3)*(-20) = 256 - 240 = 16

Корень из D равен 4, поэтому уравнение имеет два корня:

a1 = (-b + √D) / 2a = (-(-16) + 4) / (-6) = 10/3 a2 = (-b - √D) / 2a = (-(-16) - 4) / (-6) = -2/3

Таким образом, уравнение имеет единственный корень только при значении а = 10/3.