Question

Постройте график функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 и определите, при каких значениях c построенный график будет иметь ровно четыре общих точки с прямой y = c.

Answer 1

Решение в прикрепленном изображении

Answer 2

Для построения графика функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 можно разбить область определения на четыре интервала в зависимости от значения аргумента x:

1. x ≤ -3
2. -3 < x ≤ 1
3. 1 < x ≤ 4
4. x > 4

На каждом из этих интервалов функция будет иметь свой вид:

1. y = -(2x + 2)
2. y = -2x + 2
3. y = 2x + 2
4. y = 2x - 2

Теперь можно построить график, используя эти уравнения:

perlCopy code
              |      /
              |    /
              |  /
--------------+--------------           _
             / |              \            ^
           /   |                \          |
         /     |                  \        |
       /       |                    \      |
      /        |                     \     |
     /         |                      \    |
    /          |                       \   |
--------------+--------------           +-------> x
             /   |                     /   
           /     |                   /     
         /       |                 /       
       /         |               /         
      /          |             /           
     /           |           /             
                |         /               

Для определения значений c, при которых график будет иметь ровно 4 общие точки с прямой y=c, нужно рассмотреть каждый из интервалов и уравнение прямой y=c.

1. y = -(2x + 2) = c x = (c - 2) / (-2) Для того, чтобы график имел 4 общие точки с прямой y=c, необходимо, чтобы (c-2) / (-2) было меньше -3, т.е. c > 4.

2. y = -2x + 2 = c x = (2 - c) / 2 Для того, чтобы график имел 4 общие точки с прямой y=c, необходимо, чтобы (2-c)/2 было меньше 1 и больше -3, т.е. -3 < c < 2.

3. y = 2x + 2 = c x = (c - 2) / 2 Для того, чтобы график имел 4 общие точки с прямой y=c, необходимо, чтобы (c-2)/2 было больше 1 и меньше 4, т.е. 2 < c < 8.

4. y = 2x - 2 = c x = (c + 2) / 2 Для того, чтобы график имел 4 общие точки с прямой y=c, необходимо, чтобы (c+2)/2 было больше 4, т.е. c > 6.

Итак, получаем, что график функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 имеет ров