Question

Докажите неравенство: а)х(х-12)<(х-6)² б)х(х+2)>2х-3 в)(х+4)²>х(х+8) г)-1-3х<х(х-3) д)х²+4≥4(4х-15) е)(4х+3)(3х-2)>(12х-11)(х+1)

Answer 1

______________________

Answer 2

а) Неравенство x(x-12) < (x-6)² можно преобразовать следующим образом:

x(x-12) < (x-6)² x² - 12x < x² - 12x + 36 // раскрыли квадрат -12x < 36 // вычли x² и перенесли все в одну часть x > -3 // разделили на -12 с обращением знака

Таким образом, неравенство выполняется для любого x больше -3.

б) Неравенство x(x+2) > 2x-3 можно преобразовать следующим образом:

x(x+2) > 2x-3 x² + 2x > 2x-3 x² > -3

Неравенство выполняется для любого x.

в) Неравенство (x+4)² > x(x+8) можно преобразовать следующим образом:

(x+4)² > x(x+8) x² + 8x + 16 > x² + 8x 16 > -x² - 8x x² + 8x + 16 < 0 (x+4)² < 0

Последнее неравенство неверно для любого x, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Следовательно, неравенство (x+4)² > x(x+8) не выполняется для любого x.

г) Неравенство -1-3x < x(x-3) можно преобразовать следующим образом:

-1-3x < x(x-3) 0 < x² - 2x - 1 1 < (x-1)² -1 < x-1 < 1 0 < x < 2

Таким образом, неравенство выполняется для любого x, лежащего в интервале (0, 2).

д) Неравенство x² + 4 ≥ 4(4x-15) можно преобразовать следующим образом:

x² + 4 ≥ 4(4x-15) x² + 4 ≥ 16x - 60 x² - 16x + 64 ≥ 0 (x-8)² ≥ 0

Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, то последнее неравенство выполняется для любого x. Следовательно, неравенство x² + 4 ≥ 4(4x-15) также выполняется для любого x.

е) Неравенство (4x+3)(3x-2) > (12x-11)(x+1) можно преобразовать следующим образом:

(4x+3)(3x-2) > (12x-11)(x+1) 12x² - x - 6 >