Question

Найти интеграл xdx/x^2-1 Объясните откуда 1/2 в решении??????

Answer 1

  $\int\limits {\frac{xdx}{x^2-1}}= \\ x^2-1=t\\ 2xdx=dt\\ xdx = \frac{dt}{2} \\ \int\limits{ \frac{\frac{dt}{2}}{t}} = \int\limits { \frac{dt}{2t}} = \frac{lnt}{2}+C = \frac{ln(x^2-1)}{2}+C$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, можно воспользоваться методом замены переменной. Для этого проведем замену x = cos(t), тогда dx = -sin(t)dt, а также заменим знаменатель выражения x^2-1 на sin^2(t):

∫xdx/(x^2-1) = ∫cos(t)(-sin(t)dt)/(cos^2(t)-1) = ∫(-dt)/sin(t) = -ln|csc(t) + cot(t)| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Осталось выразить решение через исходную переменную x. При этом можно воспользоваться тригонометрической формулой csc(t) = 1/sin(t):

-ln|csc(t) + cot(t)| + C = -ln|(1/sin(t)) + (cos(t)/sin(t))| + C = -ln|(1 + cos(t))/sin(t)| + C

Теперь нужно выразить sin(t) через x, с учетом того, что x = cos(t):

sin^2(t) = 1 - cos^2(t) = 1 - x^2

sin(t) = ±sqrt(1-x^2)

Знак будет определяться квадрантом, в котором находится точка (x, y) на единичной окружности, соответствующей тригонометрической окружности.

Таким образом, получаем окончательный ответ:

∫xdx/(x^2-1) = -ln|(1 + x)/sqrt(1-x^2)| + C.

Отметим, что логарифмическая функция обладает свойством ln(a/b) = ln(a) - ln(b), поэтому можно переписать ответ в виде:

∫xdx/(x^2-1) = ln|(sqrt(1-x^2))/(1+x)| + C.

Относительно появления 1/2 в решении, которое вас смущает, я не вижу никаких причин для появления такой константы в данном интеграле. Возможно, вы имели в виду другое выражение.