Question

Высота проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам. Найти меньшую диагональ, если периметр 20 см

Answer 1

Надеюсь всё правильно.

Answer 2

Пусть треугольник ABC является прямоугольным, где угол C является тупым углом, и высота CD проведена из вершины C, так что она делит сторону AB пополам. Пусть AC = b и BC = a.

Так как высота CD делит сторону AB пополам, то AD = DB = a/2.

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

a^2 + b^2 = (CD)^2

Также из условия задачи, периметр треугольника равен 20 см:

a + b + (CD) = 20

Мы можем выразить a через b, используя уравнение периметра:

a = 20 - b - (CD)

Заменяем a в уравнении Пифагора:

(20 - b - CD)^2 + b^2 = (CD)^2

Раскрываем скобки и упрощаем:

400 - 40b + b^2 - 40CD + 2b(CD) + (CD)^2 + b^2 = (CD)^2

Упрощаем и переносим все слагаемые, содержащие CD, на одну сторону:

2b(CD) - 40CD + 2b^2 - 40b + 400 = 0

Делим обе стороны на 2:

b(CD) - 20CD + b^2 - 20b + 200 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно CD:

CD^2 - 20CD + b(CD) - 20b + 200 = 0

CD^2 - (20-b)CD + 20b - 200 = 0

Корни этого уравнения:

CD = [(20-b) ± sqrt((20-b)^2 - 4(20)(20b-200))] / 2

CD = [(20-b) ± sqrt(400 - 16b^2)] / 2

Замечаем, что дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, чтобы были реальные корни, так как длина стороны не может быть отрицательной. Таким образом,

400 - 16b^2 ≥ 0

b^2 ≤ 25

|b| ≤ 5

Так как более длинная диагональ AC равна sqrt(a^2 + b^2), то меньшая диагональ BD равна sqrt(a^2 + (a/2)^2), или sqrt(5a^2 / 4).

Теперь мы можем протестировать все возможные значения b:

1. Если b = 5, то CD = 5 и a = 10. Тогда BD = sqrt(5*10^2/4) = 5sqrt(5) < 14.

2. Если b = -5, то CD = 15 и a = 0. Треуголь