Question

Доказать тождество: 4sin^4x + sin^2(2x) = 4sin^2x

Answer 1

4sin⁴x + sin²2x =

4sin⁴x + sin2x · sin2x =

4sin⁴x + 2sinx · cosx · 2 · sinx · cosx =

4sin⁴x + 4sin²x · cos²x =

4sin²x · (sin²x + cos²x) =

4sin²x · 1 = 4sin²x

Answer 2

Изучим левую часть:

4sin^4x + sin^2(2x)

Перепишем sin^2(2x) в терминах sin^2(x):

sin^2(2x) = (2sinxcosx)^2 = 4sin^2xcos^2x = 4sin^2x(1-sin^2x)

Теперь заменим sin^2(2x) в исходном выражении:

4sin^4x + 4sin^2x(1-sin^2x)

Объединим члены и приведем подобные:

4sin^2x(sin^2x + 1 - sin^2x)

Остается:

4sin^2x

Таким образом, левая часть тождества равна правой части, что и требовалось доказать.

Тождество подтверждено.