Question

Sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=x^2-6x+11 Решить с помощью замены переменной

Answer 1

Я буду искать только действительные корни :

sqrt(x-2)+sqrt(4-x)=x^2-6x+11

Возведем в квадрат:

2+2sqrt((x-2)(4-x))  = (x^2-6*x+11)^2

2+2sqrt(-x^2+6x-8)  = (x^2-6*x+11)^2

Пусть a  = -x^2+6x-8 ,тогда :

2+sqrt(a) =  (a+3)^2

2+sqrt(a) =  9+a^2-6*a

a^2-6a-2sqrt(a)+7 =  0

Пусть sqrt(a) =  y,тогда :

y^4-6y^2-2y+7  = 0 . Сразу можно заметить ,что один из корней  1.Предположим ,что это выражение y-1  .Тогда  (y-1)*a  = y^4-6*y^2-2*y+7 .а  = y^3+y^2-5y-7 .Тогда y^4-6y^2-2*y+7  =  (y-1)*(y^3+y^2-5y-7) =  0. Будем искать корни (y^3+y^2-5y-7) по формуле Кардано. Вычисления очень сложные ,поэтому я их опущу,можете почитать о этой формуле в интернете .В общем второй корень приблизительно равен y =  2.37. Найдем теперь а1  =  1,а2 =  5.6169. Вернемся к уравнению a  = -x^2+6x-8 ,тогда получаем x^2-6x+9 =  0 , x = 3  и x = 0.43,x  = 5.57 ,однако подставляя второй и третий корень в исходное уравнение видим ,что в таком случае подкоренное выражение <0,такие корни не подходят.

Ответ : 3

Answer 2

Для решения данного уравнения с помощью замены переменной, мы можем использовать следующую замену:

$y = \sqrt{x-2}$

Тогда мы можем выразить второе слагаемое на левой стороне уравнения, как:

$\sqrt{4-x} = \sqrt{4-(y^2+2)} = \sqrt{2-y^2}$

А также выразить левую часть уравнения, как:

$\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} = y + \sqrt{2-y^2}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$y + \sqrt{2-y^2} = x^2-6x+11$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $y$:

$\sqrt{2-y^2} = x^2-6x+11 - y$

$2-y^2 = (x^2-6x+11 - y)^2$

$2 - y^2 = x^4 - 12x^3 + 49x^2 - 72x + y^2 - 2y(x^2-6x+11)$

$0 = x^4 - 12x^3 + 50x^2 - 72x + 13 - 2y(x^2-6x+11)$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $y$ и получить два возможных значения:

$y = \frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 13}{2(x^2-6x+11)}$

$y = \frac{12-x^3 + 6x^2 - 11x}{2(x^2-6x+11)}$

Теперь мы можем подставить каждое из этих значений обратно в нашу исходную замену и получить два корня уравнения.