Question

Не выполняя построения найдите точки пересечения окружности x^2+y^2=4 и параболы y=2-x^2 или докажите, что их нет

Answer 1

X²+y²=4; y=2-x²
x²+(2-x²)²-2-2=0; (2-x²)²-(2-x²)-2=0; 2-x²=t
t²-t-2=0⇒t₁=2; t₂=-1
2-x²=2⇒x²=0⇒x₁=0;y₁=2-0=2
2-x²=-1⇒x²=3⇒x₂=√3; x₃=-√3; y₂=y₃=2-3=-1
есть три точки пересечения: (0;2),(√3;-1) и (-√3;-1)

Answer 2

Для того, чтобы найти точки пересечения окружности и параболы, мы должны решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения параболы:

x^2 + y^2 = 4 y = 2 - x^2

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Для этого мы подставим выражение для y из уравнения параболы в уравнение окружности:

x^2 + (2 - x^2)^2 = 4

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, мы получаем:

x^4 - 4x^2 + 4 = 0

Это уравнение является квадратным относительно x^2. Решая его, мы получаем:

x^2 = 2 ± 2√2

Таким образом, у нас есть две возможные значения для x. Подставляя эти значения обратно в уравнение параболы, мы можем найти соответствующие значения y. Итак, точки пересечения окружности и параболы имеют координаты:

(x, y) = ( √(2 ± √2), 4 - 2(2 ± √2)).

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения окружности и параболы существуют и имеют указанные выше координаты.