Question

Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log x+1(2x^2-5x-7)=2

Answer 1

log_(x-2)_(2x^2-11x+16)=2log_(x-2)_(x-2)

log_(x-2)_(2x^2-11x+16)=log_(x-2)_(x-2)^2

2x^2-11x+16=(x-2)^2

2x^2-11x+16=x^2-4x+4

2x^2-11x+16-x^2+4x-4=0

x^2-7x+12=0

D=49-4*12=49-48=1

x1=7-1\2=6\2=3

x2=7+1\2=8\2=4

x1+x2=3+4=7

Answer 2

Для начала, давайте решим уравнение log x+1(2x^2-5x-7)=2, используя определение логарифма:

log x+1(2x^2-5x-7) = 2

=> 2x^2 - 5x - 7 = 2^(log x+1(2x^2-5x-7)) = 2^(2) = 4

=> 2x^2 - 5x - 11 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы:

x = [5 ± √(5^2 - 42(-11))]/(2*2) = [5 ± √81]/4 = [5 ± 9]/4

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = (5 + 9)/4 = 7/2 и x2 = (5 - 9)/4 = -1.

Но нам нужно убедиться, что x > 0, чтобы логарифм был определенным. Из двух корней только x1 удовлетворяет этому условию, поэтому единственный корень, который нам нужен, это:

x = 7/2

Теперь мы можем найти сумму корней, которая равна:

x1 + x2 = 7/2 - 1 = 5/2

Но мы уже убедились, что x2 не является допустимым решением, поэтому сумма корней равна:

x1 = 7/2

Таким образом, единственный корень уравнения log x+1(2x^2-5x-7)=2 равен 7/2.