Question

Разложите на множители: а) ax+ay-x^2-2xy-y^2 б) a^2-2ab+b^2-a+b в) a^2-b^2-c^2+2bc

Answer 1

$ax+ay-x^2-2xy-y^2=a(x+y)-(x^2+2xy+y^2)=\\=a(x+y)-(x+y)^2=(x+y)(a-(x+y))=(x+y)(a-x-y)\\\\a^2-2ab+b^2-a+b=(a^2-2ab+b^2)-(a-b)=\\=(a-b)^2-(a-b)=(a-b)(a-b-1)\\\\a^2-b^2-c^2+2bc=a^2-(b^2-2bc+c^2)=a^2-(b-c)^2=\\=(a-(b-c))(a+(b-c))=(a-b+c)(a+b-c)$

Answer 2

а) Начнем с группировки похожих членов в многочлене:

ax + ay - x^2 - 2xy - y^2 = a(x+y) - (x^2 + 2xy + y^2) = a(x+y) - (x+y)^2 = (a - x - y)(x + y)

Таким образом, мы получили разложение исходного многочлена на множители:

ax + ay - x^2 - 2xy - y^2 = (a - x - y)(x + y)

б) Заметим, что многочлен a^2-2ab+b^2 можно переписать в виде квадрата разности:

a^2-2ab+b^2 = (a - b)^2

Также можно вынести общий множитель "-1" из последнего члена:

a^2-2ab+b^2-a+b = (a - b)^2 - (c - b)

Таким образом, мы получили разложение исходного многочлена на множители:

a^2-2ab+b^2-a+b = (a - b)^2 - (c - b)

в) Данный многочлен является разностью квадратов:

a^2-b^2-c^2+2bc = (a - b - c)(a + b - c)

Таким образом, мы получили разложение исходного многочлена на множители:

a^2-b^2-c^2+2bc = (a - b - c)(a + b - c)