Question

Sin(x/2)=cos(x/2)-1 Решите уравнение с объяснением на листочке, пожалуйста

Answer 1

.....................

Answer 2

Дано уравнение:

sin(x/2) = cos(x/2) - 1

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы переписать правую часть уравнения.

Напомним несколько тождеств:

cos(a) = sin(π/2 - a)

sin(a) = cos(π/2 - a)

Теперь мы можем переписать правую часть уравнения:

cos(x/2) - 1 = sin(π/2 - x/2) - 1

= sin((π - x)/2) - 1

Теперь мы можем заменить правую часть уравнения:

sin(x/2) = sin((π - x)/2) - 1

Для того, чтобы решить уравнение, мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

sin(a) = sin(b) имеет решения x = nπ + (-1)^n * b, где n - целое число.

Таким образом, мы получаем:

x/2 = nπ + (-1)^n * ((π - x)/2)

Решая это уравнение относительно x, мы получаем:

x/2 = nπ + (-1)^n * ((π - x)/2)

2x/2 = 2nπ + (-1)^n * (π - x)/2

4x = 4nπ + (-1)^n * (π - x)

5x = 4nπ + (-1)^n * π

x = (4nπ + (-1)^n * π)/5

Таким образом, решениями уравнения являются:

x = (4nπ + π)/5 или x = (4nπ - π)/5, где n - целое число.

Теперь мы можем проверить наши ответы, подставив их в исходное уравнение:

sin(x/2) = cos(x/2) - 1

sin((4nπ + π)/10) = cos((4nπ + π)/10) - 1

sin((4nπ - π)/10) = cos((4nπ - π)/10) - 1

Оба решения удовлетворяют исходному уравнению, таким образом, наше решение корректно.

Answer 3

Начнем с преобразования правой части уравнения, используя формулу тригонометрии: cos(a) - cos(b) = -2 sin((a+b)/2) sin((a-b)/2)

cos(x/2) - 1 = cos(x/2) - cos(pi/2) = -2 sin((x/2 + pi/2)/2) sin((x/2 - pi/2)/2) = -2 sin((x+pi)/4) sin((x-pi)/4)

Теперь уравнение примет вид: sin(x/2) = -2 sin((x+pi)/4) sin((x-pi)/4)

Так как sin(x/2) всегда положительный на интервале (-pi, pi), то мы можем разделить обе стороны на sin(x/2), не меняя решений уравнения (так как мы не делим на ноль): 1 = -2 sin((x+pi)/4) sin((x-pi)/4) / sin(x/2)

Можно заметить, что sin(x/2) = 2 sin(x/4) cos(x/4) по формуле двойного угла. Подставляя это в уравнение, получаем: 1 = -2 sin((x+pi)/4) sin((x-pi)/4) / (2 sin(x/4) cos(x/4))

Упрощаем выражение, удаляя общие множители: cos(x/4) = -sin((x+pi)/4) sin((x-pi)/4)

Снова используем формулу тригонометрии для выражения произведения синусов через разность их аргументов: cos(x/4) = cos((x+pi)/4 - (x-pi)/4)

cos(x/4) = cos(pi/2) = 0

Таким образом, мы получаем решение: x/4 = pi/2 + k*pi, где k - любое целое число.

Умножая обе части на 4, получаем итоговое решение: x = (4k+2)pi, где k - любое целое число.