Question

100 баллов! Посчитать двойные интегралы, перейдя в полярные координаты 1. интеграл от 0 к 2 по dx интеграл от о к корень(4-х^2) корень(4-х^2-у^2) по dy2. интеграл от 0 к 2 по dу интеграл от о к корень(4-у^2) корень(х^2+у^2) по dх

Answer 1

x = r cos(a), y = r sin(a), dx dy = r dr da, r > 0, -π < a < π

1. 0 < x < 2, 0 < y < √(4 - x^2)

r cos(a) > 0 - выполняется при cos(a) > 0: -π/2 < a < π/2

r sin(a) > 0 - выполняется при sin(a) > 0 : 0 < a < π

0 < r sin(a) < √(4 - x^2)

0 < r^2 sin^2(a) < 4 - r^2 cos^2(a)

0 < r^2 < 4 : r < 2 - необходимо и достаточно

0 < r cos(a) < 2 - достаточное условие: r < 2 (уже выполнено)

т.е. область интегрирования: 0 < a < π/2, 0 < r < 2

$\int\limits^{\pi/2}_{0} \int\limits^2_0 \sqrt{4 - r^2}r dr da = -\frac{\pi}{6} (4 - r^2)^{3/2} |_0^2 = \frac{4}{3}\pi$

2. Область интегрирования такая же,

$\int\limits^{\pi/2}_{0} \int\limits^2_0 \sqrt{r^2 cos^2a + r^2 sin^2a}r dr da = \int\limits^{\pi/2}_{0} \int\limits^2_0 r^2 dr da = \frac{\pi}{6} r^3 |_0^2 = \frac{4}{3}\pi$

Answer 2

Спасибо за оценку!

1. Для первого интеграла, перейдем в полярные координаты, где x = r cos(θ), y = r sin(θ):

   ∫[0,2]dx ∫[0,√(4-x^2)] √(4-x^2-y^2) dy

   = ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2] r √(4-r^2) dr

   Замена: u = 4-r^2, du = -2r dr

   = -∫[0,π/2] dθ ∫[4,0] (-1/2) du/u^(1/2)

   = ∫[0,π/2] dθ [u^(1/2)]_[4,0]

   = ∫[0,π/2] dθ [2-0]

   = 2π

2. Для второго интеграла, перейдем в полярные координаты, где y = r sin(θ), x = u:

   ∫[0,2]dy ∫[0,√(4-y^2)] √(4-y^2-x^2) dx

   = ∫[0,π/2]dθ ∫[0,2sin(θ)] r √(4-r^2) dr

   Замена: u = 4-r^2, du = -2r dr

   = -∫[0,π/2]dθ ∫[4cos^2(θ),0] (-1/2) du/u^(1/2)

   = ∫[0,π/2]dθ [u^(1/2)]_[4cos^2(θ),0]

   = ∫[0,π/2]dθ [2sin(θ)-0]

   = 2

Таким образом, значения двойных интегралов в полярных координатах равны 2π и 2 соответственно.