Question

Как работает обратная теорема виета?

Answer 1

Ответ:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема обратная теореме Виета. Формулировка: Если числа и таковы, что их , а , то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Answer 2

Обратная теорема Виета утверждает, что если для многочлена с рациональными коэффициентами известны суммы всех возможных комбинаций корней и их произведение, то можно однозначно восстановить сами корни многочлена.

Пусть у нас есть многочлен с рациональными коэффициентами вида:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Тогда обратная теорема Виета утверждает, что если мы знаем все возможные суммы корней многочлена и их произведение, то мы можем однозначно определить сами корни многочлена.

Формально, пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ - корни многочлена. Тогда обратная теорема Виета утверждает, что мы можем найти корни многочлена из следующих соотношений:

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$

$x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$

$\cdots$

$x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ - коэффициенты многочлена.

Таким образом, обратная теорема Виета предоставляет нам способ нахождения корней многочлена, зная только суммы их комбинаций и произведение. Это очень полезный инструмент в алгебре и математическом анализе.