Question

Центр окружности лежит на прямой x+y=0. Составить уравнение этой окружности, если она проходит через точки пересечения двух окружностей (x−1)^2+(y+5)^2=50, (x+1)^2+(y+1)^2=10

Answer 1

Находим точки пересечения  (О1 и О2) решаем систему из двух урав-ий- О1(-4;0) и О2(0;2) Так как эти точки равноудалены от центра окружности на прямой х+у=0,то справедливо равенство: [(x-(-4)]^2+(y-0)^2=(x-0)^2+(y-2)^2 Раскрываем скобки, тогда у+2х+3=0,подставим х=-у, получим координаты центра окружности О3(-3;3).Квадрат радиуса равен (-3)^2+(3-2)^2=10. Уравнение окружности (x+3)^2+(y-3)^2=1. ну вроде так,а там проверяйте сами.

Answer 2

Для начала найдём точки пересечения данных окружностей. Это можно сделать, решив систему уравнений:

scssCopy code
(x−1)^2+(y+5)^2=50
(x+1)^2+(y+1)^2=10

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Copy code
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = 50
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 10

Приведём уравнения к каноническому виду:

scssCopy code
(x-1)^2 + (y+5)^2 = 25
(x+1)^2 + (y+1)^2 = 2

Теперь найдём точки пересечения этих окружностей. Для этого вычтем из второго уравнения первое:

scssCopy code
(x+1)^2 - (x-1)^2 + (y+1)^2 - (y+5)^2 = -23
4x - 4y - 12 = -23
4x - 4y = -11
x - y = -11/4

Таким образом, точки пересечения окружностей лежат на прямой x - y = -11/4. Поскольку центр искомой окружности лежит на прямой x+y=0, то он лежит на серединном перпендикуляре к прямой x - y = -11/4, проходящем через точку пересечения этой прямой с прямой x+y=0. Найдём эту точку:

makefileCopy code
x - y = -11/4
x + y = 0

2x = -11/4
x = -11/8

y = 11/8

Таким образом, точка центра искомой окружности равна (-11/8, 11/8).

Осталось найти радиус этой окружности. Для этого можно использовать расстояние от центра до любой из точек пересечения окружностей. Например, расстояние до точки (x1, y1) = (1, -5):

scssCopy code
r = sqrt((x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2)
r = sqrt((1 + 11/8)^2 + (-5 - 11/8)^2)
r = sqrt(1069/64)

Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:

scssCopy code
(x + 11/8)^2 + (y - 11/8)^2 = 1069/64