Question

Tgx+ctgx=8sin2x Sinx+Cosx=1+2SinxCosx решить, пожалуйста, с подробным решением

Answer 1

$tgx+ctgx=8sin2x\\ \frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=16sinxcosx \\ \frac{sin^2x}{sinxcosx}+\frac{cos^2x}{sinxcosx}=16sinxcosx \\ \frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=16sinxcosx \\\frac{1}{sinxcosx}=16sinxcosx \\ 16sin^2xcos^2x=1\\ (4sinxcosx)^2=1\\ (2sin2x)^2=1\\2sin2x=+-1\\sin2x=+-\frac{1}{2} \\2x=+-\frac{\pi }{6}+\pi n \\x=+-\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2} \pi n$ , n∈Z

sinx+cosx=1+2sinxcosx

sinx+cosx=sin²x+cos²x+2sinxcosx

sinx+cosx=(sinx+cosx)²

возможно только два решения sinx+cosx=0 или sinx+cosx=1

1) sinx+cosx=0

sinx=-cosx

x=3π/4 + πn

2) sinx+cosx=1

x₁=π/2+2πn, x₂=2πn

Ответ: 3π/4 + πn, π/2+2πn, 2πn, где n∈Z

Answer 2

Начнем с первого уравнения:

tg x + ctg x = 8sin(2x)

Перепишем tg x и ctg x в терминах sin x и cos x:

sin x / cos x + cos x / sin x = 8sin(2x)

Перемножим обе стороны на sin x cos x, чтобы избавиться от дробей:

(sin x)^2 + (cos x)^2 = 8sin(2x) sin x cos x

Заметим, что (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1, поэтому:

1 = 8sin(2x) sin x cos x

Разделим обе стороны на sin x cos x:

1 / (sin x cos x) = 8sin(2x)

Используем тригонометрическую формулу для sin(2x):

1 / (sin x cos x) = 8 * 2sin x cos x * cos x

1 / (sin x cos x) = 16sin x (cos x)^2

Перенесем все на одну сторону:

16sin x (cos x)^2 - 1 / (sin x cos x) = 0

Теперь рассмотрим второе уравнение:

sin x + cos x = 1 + 2sin x cos x

Перенесем все на одну сторону:

sin x + cos x - 1 - 2sin x cos x = 0

Заметим, что это можно переписать в виде:

(sin x - 1)(cos x - 1) = 2sin x cos x

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

16sin x (cos x)^2 - 1 / (sin x cos x) = 0

(sin x - 1)(cos x - 1) = 2sin x cos x

Решать эту систему можно различными способами, например, методом подстановки или методом исключения переменной. В данном случае, мы воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения, мы можем выразить sin x cos x:

sin x cos x = (sin x - 1)(cos x - 1) / 2

Подставим это выражение в первое уравнение:

16sin x (cos x)^2 - 1 / ((sin x - 1)(cos x - 1) / 2) = 0

Упростим выражение, умножив обе стороны на 2(sin x - 1)(cos x - 1):

32sin x (cos x)^2 (sin x - 1)(cos x - 1) - 2 = 0

Раскроем скобки:

32sin x (cos x)^3 - 32sin x (cos x)^2 - 32cos x (sin x)^3 + 32cos x (sin x)^2 - 2 = 0

Разложим каждый множитель на сомножители:

32sin x (cos x)^2 (1 - cos x) - 32cos x (sin x