Question

Решить методом интегрирования по частям:1)∫sin³xdx2)∫ln²x/x²dx3)∫x²sin2xdx

Answer 1

1) Этот пример не имеет смысла решать интегрируя частями

$\int\limits {sin^3(x)} \, dx = \int\limits {sin^2(x)} \, d(-cos(x))=- \int\limits {(1-cos^2(x))} \, d(cos(x))=$
$=- \int\limits { \, d(cos(x))+ \int\limits {cos^2(x)} \, d(cos(x)) =-cos(x)+ \frac{cos^3(x)}{3}+C$

2) 
$\int\limits { \frac{ln^2(x)}{x^2} } \, dx = \int\limits {ln^2(x)} \, d(- \frac{1}{x} ) = ln^2(x)*(- \frac{1}{x} ) - \int\limits {(- \frac{1}{x} )} \, d(ln^2(x)) =$
$= ln^2(x)*(- \frac{1}{x} ) + \int\limits { \frac{1}{x}*2*ln(x)* \frac{1}{x} } \, dx =$
$= - \frac{ln^2(x)}{x} +2 \int\limits {ln(x)} \, d(- \frac{1}{x} ) =$
$= - \frac{ln^2(x)}{x} +2[ln(x)*(- \frac{1}{x} )- \int\limits {(- \frac{1}{x} )} \, d(ln(x))] =$
$= - \frac{ln^2(x)}{x} - \frac{2ln(x)}{x}+ 2\int\limits { \frac{1}{x} * \frac{1}{x} } \, dx =$
$= - \frac{ln^2(x)}{x} - \frac{2ln(x)}{x}+ 2\int\limits {x^{-2} } \, dx = - \frac{ln^2(x)}{x} - \frac{2ln(x)}{x}+ 2*\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C =$
$= - \frac{ln^2(x)}{x} - \frac{2ln(x)}{x}-\frac{2}{x}+C =- \frac{ln^2(x)+2ln(x)+2}{x}+C=$

3)
$\int\limits {x^2sin(2x)} \, dx = \int\limits {x^2} \, d( -\frac{cos(2x)}{2} ) = -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \frac{1}{2} \int\limits {cos(2x)} \, d(x^2) =$
$= -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \int\limits {xcos(2x)} \, dx = -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \frac{1}{2} \int\limits {x} \, d(sin(2x)) =$
$= -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \frac{1}{2}[xsin(2x)- \int\limits {sin(2x)} \, dx] =$
$= -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \frac{xsin(2x)}{2}- \frac{1}{4}* \int\limits {sin(2x)} \, d(2x) =$
$= -\frac{x^2cos(2x)}{2}+ \frac{xsin(2x)}{2}+ \frac{1}{4}*cos(2x)+C=$
$= \frac{1-2x^2}{4}*cos(2x)+ \frac{x}{2}*sin(2x)+C$

Answer 2

1. Для интегрирования ∫sin³xdx мы можем использовать метод интегрирования по частям. Для этого выберем первообразную синуса, а второй множитель возьмем как производную косинуса: ∫sin³xdx = ∫sin²xsinx dx = -1/2 ∫(1-cos2x)sinx dx = 1/2 ∫cos2xsinx dx - 1/2 ∫sinx dx Затем мы можем использовать метод интегрирования по частям еще раз, выбрав первообразную cos2x и второй множитель как производную sinx: = 1/2 [-1/2cos2xcosx - 1/2∫-2sin2xcosx dx] - 1/2(-cosx) + C = -1/4 cos2xcosx + 1/4 ∫sin2xd(sinx) - 1/2 cosx + C = -1/4 cos2x*cosx - 1/8 cos2x + 1/8 sin2x + C

2. Для интегрирования ∫ln²x/x²dx мы можем также использовать метод интегрирования по частям. Для этого выберем первообразную ln x, а второй множитель возьмем как производную 1/x²: ∫ln²x/x²dx = ∫ln²x d(-1/x) = -ln²x/x + 2∫lnx/x³ dx Затем мы можем использовать метод интегрирования по частям еще раз, выбрав первообразную ln x и второй множитель как производную 1/x³: = -ln²x/x - 2(1/3lnx - ∫1/3x dx) + C = -ln²x/x - 2/3lnx + 2/9x² + C

3. Для интегрирования ∫x²sin2xdx мы можем также использовать метод интегрирования по частям. Для этого выберем первообразную x², а второй множитель возьмем как производную sin2x: ∫x²sin2xdx = -1/2 ∫x²d(cos2x) = -1/2 [x²cos2x - ∫cos2x d(x²)] Затем мы можем использовать метод интегрирования по частям еще раз, выбрав первообразную cos2x и второй множитель как производную x²: = -1/2 [x²cos2x - 2∫x cos2x dx + 2∫sin2x dx] = -1/2 [x²cos2x - 2xsin2x + 2cos2x] + C = -1/2 x²cos2x + xsin2x - cos2x + C