Question

Найдите наибольшее значение функции y=12x - ln(12x) + 4 на участке [1/24 ; 5/24]

Answer 1

Находим производную заданной функции.
y' = 12 - (1/12x)*(12) = (12x-1))/x и приравниваем её нулю (для дроби достаточно числитель).  12x - 1 = 0,  х = 1/12. Определяем характер найденного экстремума, найдя значения функции левее и правее точки х = 1/12.
х =      1/24             1/12               5/24 
 y = 5,193147            5            5,583709.Как видим, в этой точке - минимум функции.
Ответ:  минимум функции 12x-ln(12x)+4 на отрезке [1/24; 5/24] равен 5.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на данном участке нужно найти ее критические точки на этом интервале. Для этого вычислим производную функции:

y' = 12 - 1/(12x)

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

12 - 1/(12x) = 0

Решив уравнение, получим:

x = 1/144

Проверим, что эта точка действительно является точкой максимума, а не минимума или точкой перегиба. Для этого вычислим вторую производную:

y'' = 1/(12x^2)

В точке x = 1/144 вторая производная положительна, что означает, что это точка максимума. Теперь можем вычислить значение функции в этой точке:

y(1/144) = 12*(1/144) - ln(12*(1/144)) + 4 ≈ 4.764

Также нужно проверить, что функция не достигает более высоких значений на границах интервала. Проверим значение функции в точках 1/24 и 5/24:

y(1/24) ≈ 4.279 y(5/24) ≈ 5.820

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале [1/24; 5/24] равно приблизительно 5.820 и достигается в точке x ≈ 0.2083 (или 1/144, округленное до трех знаков после запятой).