Question

Докажите что при любом натуральном n значение выражения (9n+2)^2-(5n-2)^2 делится на 56

Answer 1

(9n+2)^2-(5n-2)^2=81n^2+36n+4-25n^2+20n-4=56n^2+56n=56n(n+1) , в последнем действии общий множитель 56n делится на 56, значит всё число делится на 56.

Answer 2

(9n+2)² - (5n-2)² =
= 81n²+36n+4 - 25n² + 20n - 4 =
=56n² + 56n = 56n(n + 1)

Один из множителей делится на 56, значит, и всё произведение  56n(n + 1) делится на 56. Доказано!

Answer 3

Для начала, раскроем квадраты и упростим выражение:

(9n+2)^2 - (5n-2)^2 = (81n^2 + 36n + 4) - (25n^2 - 20n + 4) = 56n^2 + 56n

Мы получили выражение вида 56n(n+1). Таким образом, чтобы доказать, что это выражение делится на 56 для любого натурального n, нужно доказать, что оно делится на 7 и на 8.

1. Деление на 7: Если мы проверим значения выражения для всех возможных остатков при делении на 7, то заметим, что:

• при n = 7k + 1, где k - целое число, 56n(n+1) = 56(7k+1)(7k+2) делится на 7;
• при n = 7k + 2, 56n(n+1) = 56(7k+2)(7k+3) делится на 7;
• при n = 7k + 3, 56n(n+1) = 56(7k+3)(7k+4) делится на 7;
• при n = 7k + 4, 56n(n+1) = 56(7k+4)(7k+5) делится на 7;
• при n = 7k + 5, 56n(n+1) = 56(7k+5)(7k+6) делится на 7;
• при n = 7k + 6, 56n(n+1) = 56(7k+6)(7k+7) делится на 7.

Таким образом, мы убедились, что выражение 56n(n+1) всегда делится на 7.

2. Деление на 8: Выражение 56n(n+1) делится на 8 тогда и только тогда, когда один из множителей 7 или (n+1) делится на 2. Рассмотрим два случая:

• Если n четное, то n+1 нечетное, а значит, множитель (n+1) не делится на 2. Зато множитель 7 делится на 2, так как 7 = 2*3 + 1. Следовательно, выражение 56n(n+1) делится на 8 при четном n.
• Если n нечетное, то n+1 четное, а значит, множитель (n+1) делится на 2. Множитель 7 в этом случае также делится на 2, так как 7 = 2*3 + 1. Следовательно, выражение 56n(n+1) делится на 8 при нечетном n.

Таким образом, мы убедились, что выражение 56n(n+1) всегда делится на 8.

Итак,