Question

Доследите на парность функцию у = (x+4)^2/(3x-2) + (x-4)^2/(3x+2)

Answer 1

y(-x) = - ((x-4)^2/(3x+2) + (x+4)^2/(3x-2)) = - y(x).

Поскольку y(-x) = - y(x), значит функция является нечетной.

Answer 2

Для проверки на парность необходимо убедиться, что функция удовлетворяет свойству f(-x) = f(x) для всех значений x из области определения функции.

Область определения данной функции - множество всех значений x, для которых знаменатели дробей отличны от нуля:

3x - 2 ≠ 0 => x ≠ 2/3

3x + 2 ≠ 0 => x ≠ -2/3

Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел, кроме -2/3 и 2/3.

Теперь проверим свойство четности функции:

f(-x) = ((-x+4)^2) / (3*(-x)-2) + ((-x-4)^2) / (3*(-x)+2)

Перенесем минус в числитель первой дроби и заменим знак минус на плюс во второй дроби:

f(-x) = ((x-4)^2) / (-3x-2) + ((-x-4)^2) / (-3x+2)

Приведем общий знаменатель и вынесем минус за скобки:

f(-x) = ((x-4)^2*(3x+2) + (-x-4)^2*(3x-2)) / ((-3x-2)*(-3x+2))

Обратим внимание на то, что числители дробей равны, так как квадраты разностей имеют одинаковую формулу. Поэтому мы можем заменить их на одинаковое выражение:

f(-x) = 2*(x^2 + 8x + 16) / ((-3x-2)*(-3x+2))

Сократим двойку в числителе и знаменателе:

f(-x) = (x^2 + 8x + 16) / ((-3x-2)*(-3x+2))

Заметим, что знаменатель функции f(x) и знаменатель функции f(-x) совпадают, но числитель у них различается. Это означает, что функция не является четной, так как f(-x) ≠ f(x) для некоторых значений x.

Следовательно, данная функция не является четной.