Question

Найти Объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=√x,y=0,x=1,x=4 Скорость движения точки изменяется по закону v=3t^2+2t+1 (м/с) Найдите путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Answer 1

y=√x   y=0     x=1       x=4        V=?

V=π*₁∫⁴(√x)²dx=π*₁∫⁴xdx=πx²/2 ₁|⁴=π*(4²-1²)/2=π*(16-1)/2=π*15/2=7,5π≈23,56.

Ответ: V≈23,56 куб. ед.

v=3t²+2t+1     t=10 c.

S=₀∫¹⁰(3t²+2t+1)dt=(t³+t²+t) ₀|¹⁰=1000+100+10=1110 (м).

Ответ: S=1110 м.

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно воспользоваться формулой Паппа. Сначала нужно найти функцию y(x), задающую данную криволинейную трапецию. Так как трапеция ограничена линиями y=√x,y=0,x=1,x=4, то ее можно представить в виде разности площадей двух прямоугольных треугольников и выразить y(x) в явном виде:

S1 = (1/2)1√1 = 1/2 S2 = (1/2)3√3 = 3/2√3 S = S2 - S1 = 3/2√3 - 1/2

Таким образом, y(x) = √x - (3/2)*√3 + 1/2.

Затем нужно найти радиус каждого диска, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, в каждой точке x на оси абсцисс. Радиус диска в точке x равен y(x). Поэтому для нахождения объема тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно воспользоваться формулой Паппа:

V = ∫[a,b]πy(x)^2dx,

где a = 1, b = 4.

V = π∫[1,4](√x - (3/2)√3 + 1/2)^2dx = π∫[1,4](x - 3√3x^(1/2) + (9/4)3 - 3√3/2x^(1/2) + 3/4)dx = π[1/3x^3 - 2√3/2x^(3/2) + (9/4)x - 3√3/4x^(1/2) + 3/4x]_1^4 = π(23/3 + 7√3/2)

Ответ: объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен (23π/3 + 7π√3/2) единиц^3.

Чтобы найти путь S, пройденный точкой за 10 с, нужно проинтегрировать скорость v(t) от начального времени t=0 до конечного времени t=10:

S = ∫[0,10]v(t)dt = ∫[0,10](3t^2 + 2t + 1)dt = [t^3 + t^2 + t]_0^10 = 1110