Question

(корень из 7 - 4корень из 3)^x + (корень из 7 + 4корень из 3)^x = 14

Answer 1

$\sqrt{7-4\sqrt{3}} * \sqrt{7+4\sqrt{3}}= \sqrt{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}= \sqrt{49-48}= \sqrt{1}=1$

Значит

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}= \frac{1}{\sqrt{7-4\sqrt{3}} }$

Сделаем замену :

$(7-4\sqrt{3}) ^{x}=m$

Тогда

$(\sqrt{7+4\sqrt{3}}) ^{x} =\frac{1}{m}\\\\m+ \frac{1}{m}-14=0\\m^{2}-14m+1=0\\D=14^{2}-4*1=196-4=192=(8 \sqrt{3}) ^{2}\\\\m_{1}= \frac{14+8\sqrt{3}} {2} =7+4\sqrt{3}\\m_{2}= \frac{14-8\sqrt{3}} {2}=7-4 \sqrt{3}$

$(\sqrt{7-4\sqrt{3}} ) ^{x}=7-4 \sqrt{3}\\(7-4 \sqrt{3}) ^{\frac{x}{2}}=7-4 \sqrt{3}\\\frac{x}{2}=1\\x_{1} =2$

$(\sqrt{7-4\sqrt{3}}) ^{x}=7+4 \sqrt{3}\\ (7-4\sqrt{3}) ^{\frac{x}{2}}=(7-4 \sqrt{3}) ^{-1}\\ \frac{x}{2}=-1\\ x_{2}=-2$

Answer 2

Для решения этого уравнения нам нужно использовать свойства алгебры и тригонометрии.

Обозначим корень из 7 как a, а корень из 3 как b. Тогда уравнение можно записать следующим образом:

(a - 4b)^x + (a + 4b)^x = 14

Для упрощения выражения можно воспользоваться формулой суммы степеней двух чисел:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Применяя эти формулы, получим:

(a + 4b)^2 = a^2 + 8ab + 16b^2

(a - 4b)^2 = a^2 - 8ab + 16b^2

Тогда наше уравнение может быть записано в виде:

((a - 4b)^x + (a + 4b)^x) = ((a^2 - 8ab + 16b^2)^{x/2} + (a^2 + 8ab + 16b^2)^{x/2}) = 14

Введем новую переменную y = (a^2 - 8ab + 16b^2)^(x/2). Тогда уравнение можно переписать в виде:

y + (a^2 + 8ab + 16b^2)^(x/2) = 14

Используя свойство корня n-й степени (a^n + b^n = (a + b)(a^(n-1) - a^(n-2)b + ... + b^(n-1))), мы можем разложить сумму квадратов на множители:

(a^2 + 8ab + 16b^2)^(x/2) = (a + 4b)^x

Тогда уравнение можно записать в виде:

y + (a + 4b)^x = 14

y = 14 - (a + 4b)^x

Теперь мы можем выразить x через y и подставить значение y в уравнение:

y = (a^2 - 8ab + 16b^2)^(x/2)

(a^2 - 8ab + 16b^2)^(x/2) = y

a^2 - 8ab + 16b^2 = y^(2/x)

Тогда мы можем решить уравнение для y:

y + (a + 4b)^x = 14

y = 14 - (a + 4b)^x

14 - (a + 4b)^x + (a^2 + 8ab + 16b^2)^(x/2) = 0

Затем мы можем решить это уравнение численно с помощью методов численного анализа, таких как метод бисекции, метод Ньютона или метод секущих. Решение этого уравнения зависит от выбранного метода и начальных условий.