Question

Sin2x+sin x=2соsx+1 решить уравнение

Answer 1

Sin2x+sinx=2cosx+1
2sinxcosx+sinx=2cosx+1
sinx(2cosx+1)-(2cosx+1)=0
(2cosx+1)(sinx-1)=0
a)2cosx+1=0,2cosx=-1,cosx=-1/2
   x=2π/3+2kπ
   x=4π/3+2kπ
b)sinx-1=0, sinx=1, 
   x=π/2+2kπ
k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать различные тригонометрические тождества. Например, мы можем заменить выражение 2cosx на 1 + cos(2x) и преобразовать уравнение следующим образом:

sin(2x) + sin(x) = 2cos(x) + 1 2sin(x)cos(x) + sin(x) = 1 + cos(2x) + 1 2sin(x)cos(x) + sin(x) = 2 - 2sin^2(x) 2sin(x)cos(x) + sin(x) - 2 + 2sin^2(x) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение методом подстановки. Допустим, что sin(x) = t, тогда мы получим следующее квадратное уравнение:

2t(1 - t^2) + t - 2 = 0

Решая это уравнение, мы найдем два значения t:

t = 1 или t = -1/2

Но мы знаем, что sin(x) не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому мы можем отбросить решение t = 1. Таким образом, остается только одно решение:

sin(x) = -1/2

Используя таблицу значений тригонометрических функций, мы можем найти два значения x, для которых sin(x) = -1/2:

x = 7π/6 или x = 11π/6

Поэтому уравнение имеет два решения:

x = 7π/6 + 2πk или x = 11π/6 + 2πk, где k - любое целое число.