Question

При каких значениях параметра a функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой?

Answer 1

Функция f(x) убывает, если её производная f'(x) < 0.

$y'=(2ax^3+9x^2+54ax+66)'=6ax^2+18x+54a\\ \\ 6ax^2+18x+54a\ \textless \ 0~~~|:6\\ \\ ax^2+3x+9a\ \textless \ 0$

f'(x) < 0 выполняется для всех х, если коэффициент при  $x^2$ меньше нуля и D<0

$\displaystyle \left \{ {{a\ \textless \ 0~~~~~~~~~} \atop {9-36a^2\ \textless \ 0}} \right. ~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{a\ \textless \ 0} \atop { \left[\begin{array}{ccc}a\ \textgreater \ 0.5\\ a\ \textless \ -0.5\end{array}\right}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ a\ \textless \ -0.5$

И подставив а=-0,5 в нашу функцию, получим

$y=-x^3+9x^2-27x+66\\ \\ y'=-3x^2+18x-27=-3(x^2-6x+9)=-3(x-3)^2$

Следует убывание функции.

ОТВЕТ:  $a \in (-\infty;-0.5].$

Answer 2

Для того чтобы узнать, при каких значениях параметра a функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой, нужно найти условия, при которых её производная отрицательна на всей числовой прямой.

Найдём производную функции y: y' = 6ax^2 + 18x + 54a

Теперь найдём условия, при которых производная y' меньше нуля на всей числовой прямой: 6ax^2 + 18x + 54a < 0

Вынесем общий множитель 6: 6(a x^2 + 3x + 9a) < 0

Так как коэффициент при x^2 положительный, то выражение в скобках определяет знак производной. Для того, чтобы она была отрицательной на всей числовой прямой, необходимо, чтобы это выражение было отрицательным при всех значениях x.

Рассмотрим два случая:

1. Когда выражение в скобках всегда положительно: a x^2 + 3x + 9a > 0

Для этого выражения дискриминант должен быть меньше нуля: D = 9 - 36a^2 < 0

Решив неравенство, получаем: -1/6 < a < 1/6

2. Когда выражение в скобках всегда отрицательно: a x^2 + 3x + 9a < 0

В этом случае дискриминант должен быть больше или равен нулю: D = 9 - 36a^2 ≥ 0

Решив неравенство, получаем: -1/6 ≤ a ≤ 1/6

Итак, мы получили, что функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой, если значение параметра a находится в интервале: -1/6 ≤ a ≤ 1/6.