Question

Известно что функция восрастает на R. Решите неравенство f(|x-8|)>f(|x+5|).

Answer 1

Если функция возрастает, то большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
Поэтому
| x - 8 | > | x + 5 |
Возведем верное неравенство в квадрат
х² - 16 х + 64 > x² + 10x + 25,
-16x - 10x > 25 - 64,
- 26x > - 39
Разделим неравенство на (-26) при этом знак сменим на противоположный
х < 1,5

Answer 2

Поскольку дано, что функция f возрастает на всей оси R, то неравенство f(|x-8|) > f(|x+5|) верно тогда и только тогда, когда |x-8| < |x+5|, то есть когда точка x находится ближе к 8, чем к -5.

Рассмотрим два случая:

1. Если x ≥ 8, то |x-8| = x-8, а |x+5| = -(x+5), поэтому неравенство принимает вид f(x-8) > f(-(x+5)). Так как x ≥ 8, то x+5 ≥ 13, и поскольку функция f возрастает на всей оси, то f(-(x+5)) < f(0), а f(x-8) ≥ f(0), поэтому неравенство всегда выполняется в этом случае.

2. Если x < 8, то |x-8| = -(x-8) = 8-x, а |x+5| = x+5, поэтому неравенство принимает вид f(8-x) > f(x+5). Так как x < 8, то x+5 < 13, и поскольку функция f возрастает на всей оси, то f(8-x) ≥ f(0), а f(x+5) < f(0), поэтому неравенство выполняется только тогда, когда x находится в интервале (-5, 8).

Итак, решением данного неравенства является множество всех x из интервала (-5, 8). Обозначим это множество как (-5, 8). Таким образом, решение неравенства f(|x-8|) > f(|x+5|) есть множество (-5, 8).