Question

Объясните по алгоритму, как делать данное задание: 1) Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀, если f(x)=x³/3 , x₀= 1 Если: f(x)= 2√x ,x₀=3 Если: f(x)= ln(2x+1) , x₀=0.5

Answer 1

$f(x)= \frac{x^3}{3}$
 Производная функции
$f'(x)=( \frac{x^3}{3})'= \frac{3x^2}{3}=x^2$
Найдём значение производной в точке х0
   $f(1)=1^2=1$
По свойству касательной
    $f'(x)=tg \alpha \\ tg \alpha =1\\ \alpha =arctg(1)=45а$

Аналогично
   $f(x)=2 \sqrt{x} \\ f'(x)= \frac{2}{2 \sqrt{x} } = \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ f'(3)= \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ tg \alpha =\frac{1}{ \sqrt{3} }\\ \alpha =arctg(\frac{1}{ \sqrt{3} })=30а$

$f(x)=\ln(2x+1)\\ f'(x)=(2x+1)'\cdot(\ln (2x+1))'= \frac{2}{2x+1} \\ f'(0.5)= \frac{2}{2\cdot0.5+1}=1\\ tg \beta =1\\ \beta =arctg(1)=45а$

Answer 2

Для нахождения угла между осью Ох и касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀:

• Для функции f(x) = x³/3: f'(x) = x²
• Для функции f(x) = 2√x: f'(x) = 1/√x
• Для функции f(x) = ln(2x+1): f'(x) = 2/(2x+1)

Вычислим значения производных в заданных точках:

• Для функции f(x) = x³/3 при x₀=1: f'(1) = 1² = 1
• Для функции f(x) = 2√x при x₀=3: f'(3) = 1/√3
• Для функции f(x) = ln(2x+1) при x₀=0.5: f'(0.5) = 2/(2*0.5+1) = 0.8

2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке x₀, используя значение производной из предыдущего шага:

• Для функции f(x) = x³/3 в точке x₀=1: tg(α) = f'(1) = 1
• Для функции f(x) = 2√x в точке x₀=3: tg(α) = f'(3) = 1/√3
• Для функции f(x) = ln(2x+1) в точке x₀=0.5: tg(α) = f'(0.5) = 0.8

3. Найти угол α, используя найденный тангенс:

• Для функции f(x) = x³/3 в точке x₀=1: α = arctg(1) ≈ 45°
• Для функции f(x) = 2√x в точке x₀=3: α = arctg(1/√3) ≈ 30°
• Для функции f(x) = ln(2x+1) в точке x₀=0.5: α = arctg(0.8) ≈ 38°

Таким образом, мы нашли угол между осью Ох и касательной к графику функции в заданных точках.