Question

Tgxdx-(1+y)dy=0. Помогите найти общее решение

Answer 1

Все переменные стоят на своих местах, поэтому можно проинтегрировать выражение
int(tgxdx) - int ((1+y)dy) = 0
1. int (tg (x)dx) - табличный и равен -ln (cosx)
2. int ((1+y)dy) = int (dy) + int (ydy) = y + (y^2)/2
В итоге: -ln (cosx) - y - (y^2)/2 = C
Умножив на (-1) будет: ln (cosx) + y + (y^2)/2 = C - общее решение
C не менеятся, так как const

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Для этого нужно выразить уравнение в виде:

dx/(1+x) = -dy/(1+y)

Затем проинтегрировать обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных:

∫dx/(1+x) = -∫dy/(1+y)

После интегрирования получим:

ln|1+x| = -ln|1+y| + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Для получения общего решения нужно избавиться от логарифмов. Для этого воспользуемся свойством логарифма:

ln a - ln b = ln(a/b)

Применим это свойство к полученному выражению:

ln|1+x| + ln|1+y| = C'

где C' = ln|C| - произвольная постоянная интегрирования.

Объединяя логарифмы, получаем:

ln|1+x(1+y)| = C''

где C'' = ln|C|.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

ln|1+x(1+y)| = ln|C|

или, эквивалентно:

1 + xy + x = A,

где A = e^C - произвольная постоянная.