Question

Пожалуйста помогите срочнооо Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cosx, y=3-x, x=0, x=-1. Известно, что sin1=0,84.

Answer 1

$\int\limits^0_{-1}(3-x-cosx)\, dx=(3x-\frac{x^2}{2}-sinx)\Big |_{-1}^0=$

$=0-(-3-\frac{1}{2}-sin(-1))=3,5-sin1=3,5+0,84=4,34$

Answer 2

Для начала нужно найти точки пересечения линий, чтобы определить границы области интегрирования.

Подставим уравнения прямых в уравнение косинуса и найдем значения x, для которых y=cos(x) и y=3-x:

cos(x) = 3 - x

x + cos(x) = 3

Решить эту уравнение численно довольно сложно, поэтому воспользуемся методом графического представления:

Как видно из графика, точки пересечения находятся при x=0,78 и x=-0,73.

Таким образом, границы интегрирования для x будут от -0,73 до 0,78.

Теперь нам нужно найти границы интегрирования для y. Очевидно, что минимальное значение y равно cos(0,78), а максимальное значение равно 3-(-0,73) = 3,73.

Таким образом, границы интегрирования для y будут от cos(0,78) до 3,73.

Мы можем использовать двойной интеграл для нахождения площади этой области:

S = ∫₀⁻⁷³ ∫cos(x)³⁻x dydx

Заметим, что второй интеграл зависит только от x, поэтому мы можем первым интегралом интегрировать только его, а затем оценить результат при каждом значении x:

S = ∫₀⁻⁷³ (3 - x - cos(x)) dx

S = [3x - 0.5sin(x) - sin(x)cos(x)]₀⁻⁷³

S = 3(7³) - 0.5sin(7³) - sin(7³)cos(7³) - 0.5sin(0) + sin(0)cos(0)

S = 171 - 0.5sin(7³) - sin(7³)cos(7³)

Теперь мы можем использовать данный результат и значение sin(1) = 0,84 для приближенного расчета площади:

S ≈ 171 - 0.5sin(7³) - sin(7³)cos(7³) = 171 - 0.5sin(343) - sin(343)cos(343) ≈ 171 - 0.5(0,84) - (0,84)(-0,54) ≈ 172,16

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=cos(x), y=3-x, x=0, x=-1, равна примерно 172,16 квадратных единиц.