Question

Помогите пожалуйста! Точка движется по оси абсцисс по закону х=0.25 (t^4-4t^3+2t^2-12t) (x-в метрах.t-в секундах).В какой момент времени точка остановится (Решить с помощью производной ))

Answer 1

Раскроем скобки:

x = 0,25t^4 - t^3 + 0,5t^2 - 3t

Найдем производную от этого:

x' = t^3 - 3t^2 + t - 3  = t(t^2 - 1) - 3(t^2 - 1) = (t - 3)(t^2 - 1) = V(t)

Чтобы точка остановилась, ее скорость должна быть равна 0:

(t-3)(t^2 - 1) = 0

Или t - 3 = 0, откуда получается t = 3

Или t^2 - 1 = 0, откуда получается t = ±1, но время не может быть отрицательным, значит -1 не подходит.

А если подставить 1, не получается равенство, значит 1 тоже не подходит.

Ответ: t = 3

Answer 2

Для определения момента времени, когда точка остановится, нужно найти время t, при котором скорость точки равна нулю. Скорость точки - это производная её координаты по времени.

Итак, начнем с выражения для координаты х:

х = 0.25(t^4 - 4t^3 + 2t^2 - 12t)

Чтобы найти скорость точки, нужно взять производную х по времени t:

dx/dt = 0.25(4t^3 - 12t^2 + 4t - 12)

Теперь мы можем найти время t, при котором скорость равна нулю, решив уравнение:

dx/dt = 0

0.25(4t^3 - 12t^2 + 4t - 12) = 0

4t^3 - 12t^2 + 4t - 12 = 0

Вынесем общий множитель 4:

4(t^3 - 3t^2 + t - 3) = 0

Заметим, что выражение в скобках можно разложить на множители:

t^3 - 3t^2 + t - 3 = (t - 3)(t^2 + 1)

Таким образом, уравнение имеет два корня: t = 3 и t = i (где i - мнимая единица).

Так как мы ищем момент времени, когда точка остановится, то рассматриваем только реальные значения времени. Таким образом, ответ: точка остановится в момент времени t = 3 секунды.