Question

Составьте уравнение касательной к графику y=sin (3x -2pi /3) в точке x= pi/3

Answer 1

Уравнение касательной имеет вид: 
y=y’(x0)(x-x0)+y(x0) ; x0=PI/3 ; y(x0)=y(PI/3)=sin(PI-2PI/3)= 
sin(PI/3)=sqrt3/2 ; y’(x)=3cos(3x-2PI/3) ; 
y’(x0)=y’(PI/3)=3cos(PI-PI/3)= 3cos(PI/3)=3/2=1,5. Уравнение касательной: 
y=1,5(x-PI/3)+sqrt3/2; 
sqrt3-корень квадратный из трёх

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции y = sin(3x - 2π/3) в точке x = π/3, мы должны найти значение производной функции в этой точке и использовать его для составления уравнения касательной.

Первым шагом является нахождение производной функции y = sin(3x - 2π/3). Для этого мы применим правило дифференцирования функции синуса и учтём, что производная константы равна нулю:

dy/dx = cos(3x - 2π/3) * d(3x - 2π/3)/dx

dy/dx = cos(3x - 2π/3) * 3

Теперь мы можем найти значение производной в точке x = π/3, подставив её в выражение:

dy/dx = cos(3(π/3) - 2π/3) * 3 = cos(π - 2π/3) * 3 = cos(π/3) * 3 = (1/2) * 3 = 3/2

Таким образом, значение производной в точке x = π/3 равно 3/2.

Теперь мы можем использовать найденное значение производной для составления уравнения касательной. Уравнение касательной в общем виде имеет вид:

y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - координаты точки, в которой мы строим касательную, а m - значение производной в этой точке.

Подставляя значения x₁ = π/3, y₁ = sin(3(π/3) - 2π/3) = sin(π - 2π/3) = sin(π/3) = √3/2 и m = 3/2 в уравнение касательной, получим:

y - √3/2 = (3/2)(x - π/3).

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = sin(3x - 2π/3) в точке x = π/3 имеет вид:

y - √3/2 = (3/2)(x - π/3).