Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО! на доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 2018. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на три, то побеждает начинающий, если нет - то его партнер кто из них выиграет при правильной игре?

Answer 1

Ответ: Выигрывает партнер.

Объяснение: Изначально сумма всех чисел делится на 3. Партнеру нужно сбить эту делимость (стерев число, которое в сумме с числом начинающегося даст число, не делящееся на 3) и потом стирать числа,  которые в сумме с числами начинающегося будут давать числа, делящееся на 3.

Answer 2

Давайте проанализируем эту игру.

Заметим, что если начинающий игрок стирает число, которое не делится на 3, то сумма оставшихся чисел на доске не изменится по модулю 3. Следовательно, независимо от того, какие числа стирает начинающий игрок, остающаяся сумма чисел на доске будет иметь тот же остаток при делении на 3.

Изначально на доске 2018 чисел, сумма которых равна 1 + 2 + 3 + ... + 2018 = 2018 * 2019 / 2 = 2037171. Эта сумма не делится на 3, поскольку 2037171 % 3 = 2.

Таким образом, начинающий игрок не может сделать так, чтобы сумма оставшихся чисел на доске стала делиться на 3, независимо от своих ходов. В итоге, после множества ходов сумма чисел на доске останется неизменной и не будет делиться на 3.

Следовательно, победителем будет второй игрок (партнер начинающего), при условии, что оба игрока играют оптимально.