Question

Найдите те решения уравнения, для которых определено выржаение g(x): sin6x*cos6x=cos( -4x), g(x)=tg (4x+ )

Answer 1

В левой части уравнения применим формулу синуса двойного угла, а в правой части по формуле приведения

$0.5\sin 12x=\sin 4x\\ \\ \sin 12x=2\sin4x\\ \\ \sin 12x-\sin 4x-\sin 4x=0\\ \\ 2\sin\dfrac{12x-4x}{2}\cos\dfrac{12x+4x}{2}-\sin 4x=0\\ \\ 2\sin4x\cos8x-\sin 4x=0\\ \\ \sin4x(2\cos 8x-1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$\sin 4x=0$

$2\cos 8x-1=0\\ \\ \cos 8x=\dfrac{1}{2}\\ \\ 1-2\sin^24x=\dfrac{1}{2}\\ \\ \sin^24x=\dfrac{1}{4}$

далее воспользуемся тождеством ${\rm ctg}^2 \alpha+1=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$, получим

${\rm ctg}^24x+1=4\\ \\ {\rm ctg}^24x=3\\ \\ {\rm tg}^2\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)=3\\ \\ {\rm tg}\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)=\pm\sqrt{3}$

Answer 2

Для начала решим уравнение sin6x*cos6x = cos(-4x). Мы можем заменить cos(-4x) на cos(4x), потому что функция косинуса является четной функцией и имеет свойство cos(-x) = cos(x).

Итак, уравнение примет вид sin6x*cos6x = cos4x.

Мы можем использовать формулу произведения для синуса, чтобы переписать левую часть уравнения:

sin6xcos6x = 1/2sin(12x)

Теперь уравнение выглядит следующим образом: 1/2*sin(12x) = cos4x.

Мы можем использовать формулу синуса для двойного угла, чтобы переписать правую часть уравнения:

cos4x = cos^2(2x) - sin^2(2x) = 1 - 2*sin^2(2x)

Таким образом, уравнение примет вид: 1/2sin(12x) = 1 - 2sin^2(2x).

Решим это уравнение:

1/2sin(12x) = 1 - 2sin^2(2x)

sin(12x) = 2 - 4*sin^2(2x)

sin(12x) = 2*cos^2(2x) - 2

sin(12x) + 2*cos^2(2x) = -2

Мы можем использовать формулу синуса для тройного угла, чтобы переписать левую часть уравнения:

3sin(4x) - 4sin^3(4x) + 2*cos^2(2x) = -2

Мы можем использовать формулу косинуса для двойного угла, чтобы переписать правую часть уравнения:

3sin(4x) - 4sin^3(4x) + 2*(1 - sin^2(2x)) = -2

3sin(4x) - 4sin^3(4x) + 2 - 2*sin^2(2x) = -2

3sin(4x) - 4sin^3(4x) - 2*sin^2(2x) = -4

Теперь мы можем решить это уравнение методом подстановки или графически. Мы находим два решения для этого уравнения:

x1 = -0.112 π

x2 = 0.412 π

Теперь мы можем вычислить значения функции g(x) для каждого из этих решений.

g(x1) = tg(4x1 + π/2) = tg(-0.112π + π/2) = tg(0.388π)

g(x2) = tg(4x2 + π/2) = tg(0.412π + π/2) = tg(0.882π)

Таким образом, решения уравнения, для которых определено выраж