Question

СРОЧНО, ПОМОГИТЕ Для функции f найдите первообразную F, если: f(x)=- \frac{1}{sin^{2}x } и F( \frac{ \pi }{4} )=1

Answer 1

$f(x)=-\frac{1}{sin^2x}\\\\F(x)=-\int \frac{dx}{sin^2x}=ctgx+C\\\\F( \frac{\pi }{4} )=ctg \frac{\pi }{4}+C=1\quad \Rightarrow \quad 1+C=1\; ,\; \; C=0\\\\\underline {F(x)=ctgx}$

Answer 2

Используя формулу замены переменной в определенном интеграле, мы можем записать первообразную F(x) для данной функции f(x) следующим образом:

F(x) = ∫[1, x] (-1/sin^2 t) dt

где [1, x] означает интеграл от 1 до x.

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем сделать замену переменной, заменив t на sin(u), так как dt = cos(u)du, и заметив, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

F(x) = ∫[π/4, x] (-1/sin^2 t) dt = -∫[π/4, x] (1/cos^2 t) dt = -∫[π/4, x] sec^2 t dt = -[tan t] [π/4, x] = -tan x + 1

Теперь, используя условие F(π/4) = 1, мы можем решить уравнение:

1 = -tan(π/4) + 1 tan(π/4) = 1

Таким образом, мы можем заключить, что первообразная F(x) для данной функции f(x) равна:

F(x) = -tan x + 1.