Question

Логарифмические уравнения и неравенства Решить уравнение (неравенство): log7(x2-2x-8)=1 log1/2(x2=4x-5)>-4

Answer 1

1) log7(x^2-2x-8)=log7(7)
x^2-2x-8=7
x^2-2x-15=0
D=64
x1=5
x2=-3
2) log1/2(x^2-4x-5)>log1/2(16)
ОДЗ:x^2-4x-5>0
D=36
x1=5
x2=-1
Снимаем логарифм:
x^2-4x-5<16
x^2-4x-21<0
D=100
x1=7
x2=-3
x=(5;7)

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение и неравенство по отдельности.

Уравнение: log₇(x² - 2x - 8) = 1

Для решения логарифмического уравнения сначала преобразуем его в экспоненциальную форму. В данном случае, так как основание логарифма равно 7, экспонентой будет число 7, возведенное в степень, равную правой части уравнения, то есть 7¹ = 7. Тогда получим:

x² - 2x - 8 = 7

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x² - 2x - 8 - 7 = 0

x² - 2x - 15 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение, но для данного случая проще использовать факторизацию:

(x - 5)(x + 3) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

x - 5 = 0 => x = 5 x + 3 = 0 => x = -3

Итак, уравнение log₇(x² - 2x - 8) = 1 имеет два решения: x = 5 и x = -3.

Неравенство: log₁/₂(x² - 4x - 5) > -4

Аналогично предыдущему примеру, преобразуем неравенство в экспоненциальную форму:

x² - 4x - 5 > 2⁻⁴

x² - 4x - 5 > 1/16

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

x² - 4x - 5 - 1/16 > 0

Упростим числитель дроби:

x² - 4x - 5 - 1/16 > 0

Умножим всё на 16, чтобы избавиться от дроби:

16x² - 64x - 80 - 1 > 0

16x² - 64x - 81 > 0

Теперь решим квадратное неравенство. Найдем вершины параболы, чтобы определить направление ее ветвей. Вершина имеет координаты (h, k), где h = -b/2a и k = f(h). В данном случае a = 16, b = -64, c = -81:

h = -(-64)/(2*16) = 64/32 = 2

k = 162² - 642 - 81 = 64 - 128 - 81 = -145

Таким образом, вершина параболы находится в точке