Question

Последовательность (An) - арифметическая прогрессия. Найдите сумму двадцати первых её членов, если A1+ A4+ A7= 45, A4*A6= 315

Answer 1

$\left \{ {{a_{1}+a_{4}+a_{7}=45} \atop {a_{4}*a_{6}=315}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}+(a_{1}+3d)+(a_{1}+6d)=45} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right.$

$\left \{ {{3a_{1}+9d=45} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=15-3d} \atop {(a_{1}+3d)*(a_{1}+5d)=315}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}=15-3d} \atop {(15-3d+3d)*(15-3d+5d)=315}} \right.$

$15*(15+2d)=315$
$15+2d=21$
$2d=21-15=6$
$d=3$
$a_{1}=15-3d=15-3*3=6$

$S_{20}=\frac{2a_{1}+19d}{2}*20=\frac{2*6+19*3}{2}*20=(2*6+19*3)*10=(12+57)*10=69*10=690$

Ответ: 690

Answer 2

Для начала, найдём первый член и разность арифметической прогрессии. Пусть A1 = a, а разность прогрессии d. Тогда A4 = a + 3d и A7 = a + 6d. Мы знаем, что:

A1 + A4 + A7 = 45

a + (a + 3d) + (a + 6d) = 45

3a + 9d = 45

a + 3d = 15

A4 * A6 = (a + 3d)(a + 5d) = 315

(a + 3d)(a + 5d) = 315

a^2 + 8ad + 15d^2 = 315

a^2 + 8ad + 15d^2 - 315 = 0

(a + 15d)(a - 7d) = 0

Таким образом, мы имеем два возможных значения для a:

a1 = -15d

a2 = 7d

Если мы возьмём a1 = -15d, то из уравнения a + 3d = 15 мы найдём d = 5, и последовательность будет иметь вид:

-15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, ...

Теперь мы можем найти сумму двадцати первых членов этой последовательности, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

S20 = (20/2)(-15 + 85) = 500

Ответ: сумма двадцати первых членов последовательности, заданной формулой An = -15 + 5(n-1), равна 500.