Question

Найти cos4x, если sinx-cosx=3/√10

Answer 1

Возводим в квадрат обе части равенства.

$\sin^2 x-\sin2x+\cos^2x=\dfrac{9}{10}\\ \sin2x=\dfrac{1}{10}$

По формуле косинуса двойного угла, имеем

$\cos 4x=1-2\sin^22x=1-2\cdot\bigg(\dfrac{1}{10}\bigg)^2=1-\dfrac{1}{50}=\dfrac{49}{50}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. cos^2(x) + sin^2(x) = 1
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
3. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1

Дано: sin(x) - cos(x) = 3/√10

Мы можем возвести это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(sin(x) - cos(x))^2 = (3/√10)^2 (sin^2(x) - 2sin(x)cos(x) + cos^2(x)) = 9/10

Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому мы можем заменить это выражение в уравнении:

(1 - 2sin(x)cos(x)) = 9/10 2sin(x)cos(x) = 1 - 9/10 2sin(x)cos(x) = 1/10 sin(x)cos(x) = 1/20

Мы можем использовать формулу для sin(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) sin(2x) = 2(1/20) sin(2x) = 1/10

Теперь мы можем использовать формулу для cos(2x):

cos(2x) = sqrt(1 - sin^2(2x)) cos(2x) = sqrt(1 - (1/10)^2) cos(2x) = sqrt(1 - 1/100) cos(2x) = sqrt(99/100) cos(2x) = sqrt(99)/10

Теперь мы можем использовать формулу для cos^2(x):

cos^2(x) = (cos(2x) + 1)/2 cos^2(x) = (sqrt(99)/10 + 1)/2 cos^2(x) = (sqrt(99) + 10)/20

Наконец, чтобы найти cos(4x), мы можем использовать формулу для cos^4(x):

cos^4(x) = cos^2(x) * cos^2(x) cos^4(x) = ((sqrt(99) + 10)/20) * ((sqrt(99) + 10)/20) cos^4(x) = ((99 + 20sqrt(99) + 100)/400) cos^4(x) = (199 + 20sqrt(99))/400

Таким образом, cos^4(x) = (199 + 20sqrt(99))/400.