Question

Решите уравнение:4sin^2(x/2) - cos^2(x/2)=1,5 + sin x

Answer 1

$4sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2}=1.5+sinx\\ sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2}\\ cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2}\\ \\ \frac{4-4cosx-1-cosx}{2}=1.5+sinx\\ 3-5cosx=3+2sinx\\ -5cosx=2sinx\\ tgx=-2.5\\ x=\pi*n-arctg(-2.5)$

Answer 2

Начнем с преобразования левой части уравнения: 4sin^2(x/2) - cos^2(x/2) = 4(1 - cos^2(x/2)) - cos^2(x/2) (используем тригонометрическую формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1) = 4 - 3cos^2(x/2)

Теперь заменим sin x через sin(x/2), используя формулу половинного угла для синуса: sin x = 2sin(x/2)cos(x/2)

Подставляем эту замену и преобразуем уравнение: 4sin^2(x/2) - cos^2(x/2) = 1,5 + 2sin(x/2)cos(x/2)

4(1 - cos^2(x/2)) - cos^2(x/2) = 1,5 + 2sin(x/2)cos(x/2)

4 - 3cos^2(x/2) = 1,5 + 2sin(x/2)cos(x/2)

3cos^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) - 2,5 = 0

Теперь введем замену t = cos(x/2), тогда sin(x/2) = sqrt(1 - t^2). Подставляем это в уравнение и решаем относительно t:

3t^2 + 2sqrt(1 - t^2) * t - 2,5 = 0

Решаем это квадратное уравнение относительно t: t = (-2sqrt(1 - t^2) ± sqrt(4 - 7t^2))/3

Несложно проверить, что корни этого уравнения находятся в интервале [-1, 1]. Поэтому они удовлетворяют условию тригонометрических функций.

Теперь рассмотрим два случая:

1. t = cos(x/2) = (-2sqrt(1 - t^2) + sqrt(4 - 7t^2))/3

Так как -1 ≤ t ≤ 1, то sqrt(1 - t^2) ≥ 0. Поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат и решить квадратное уравнение относительно sqrt(1 - t^2). Получим два решения: sqrt(1 - t^2) = sqrt(1/7) или sqrt(3/5)

Для каждого из этих решений найдем соответствующие значения sin(x/2) и cos(x/2): cos(x/2) = (-2sqrt(1 - t^2) + sqrt(4 - 7t^2))/3 = (-2sqrt(6/7) + sqrt(4/7))/3 или (-2sqrt(2/5) + sqrt(4/5))/3 sin(x/2) = sqrt(1 - cos^2(x/2))

Теп