Question

Помогите пожалуйста 1.Найти производную функции а) f(x)=4^2x-1 б) f(x)=cos(4x+5) в) f(x)=e^x^3+2x 2.Найдите значение производной в точке x0 a)f(x)=1/4x^4-3x^2+5,x0=-3 б) f(x)=x^2-1/2x+1,x0=1 в) f(x)=(2x^2+1)(4+x^3),x0=1

Answer 1

1.Найти производную функции а) f(x)=4^2x-1
f'(x)=4^2x*ln4*2
 б) f(x)=cos(4x+5) f'(x)=-sin(4x+5)*4
 в) f(x)=e^x^3+2x; f'(x)=2+3x^2*e^(x^3)
2.Найдите значение производной в точке x0 a)f(x)=1/4x^4-3x^2+5,x0=-3
f'=x^3-6x  f'(-3)=-27+18=-9 
б) f(x)=x^2-1/2x+1,x0=1
f'=2x+2/(2x+1)^2
f'(1)=2+2/5^2=2+2/25=2,08
в) f(x)=(2x^2+1)(4+x^3),x0=1
f'=4x*(4+x^3)+(2x^2+1)*3x^2=16x+4x^4+3x^2+6x^4=
=10x^4+3x^2+16x
f'(1)=10+3+16=29

Answer 2

1. Вычисление производных функций: a) f(x) = 4^(2x-1) Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): f'(x) = (4^(2x-1))' = (e^(ln(4^(2x-1))))' = (e^((2x-1)ln4))' = e^((2x-1)ln4) * (2ln4)' = 2ln4 * e^((2x-1)ln4) = 2ln4 * 4^(2x-1)

б) f(x) = cos(4x+5) Используем правило дифференцирования композиции функций: f'(x) = (cos(4x+5))' = -sin(4x+5) * (4x+5)'

Производная (4x+5)' равна 4, так как производная константы равна нулю. Таким образом, f'(x) = -4sin(4x+5).

в) f(x) = e^(x^3+2x) Используем правило дифференцирования сложной функции: f'(x) = (e^(x^3+2x))' = e^(x^3+2x) * (x^3+2x)'

Производная (x^3+2x)' равна 3x^2+2, поэтому f'(x) = e^(x^3+2x) * (3x^2+2).

2. Вычисление значений производных в заданных точках: а) f(x) = 1/(4x^4-3x^2+5), x0 = -3 Используем правило дифференцирования частного: f'(x) = -((4x^4-3x^2+5)'/(4x^4-3x^2+5)^2) = (-48x^3+6x)/(4x^4-3x^2+5)^2

Подставляем x0 = -3 и получаем: f'(-3) = (-48*(-3)^3+6*(-3))/((4*(-3)^4-3*(-3)^2+5)^2) = 35424/841

б) f(x) = x^2 - 1/(2x+1) + 1, x0 = 1 Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования частного: f'(x) = (x^2)' - ((1/(2x+1))'/(2x+1)^2) + (1)' = 2x + 2/(2x+1)^2

Подставляем x0 = 1 и получаем: f'(1) = 21 + 2/(21+1)^2 = 2 + 2/9 = 20/9

в) f(x) = (2x^2+1)(4+x^3), x0 = 1 Используем правило диффер